Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas definisi turunan di suatu titik dengan dua alternatif definisi yang dapat digunakan. Penjelasan mengenai garis singgung dan hampiran linear pada suatu fungsi juga disertakan dalam video ini. Garis singgung merupakan garis yang paling baik untuk mendekati fungsi F, sedangkan hampiran linear dari F di sekitar titik A juga dibahas secara detail. Konsep limit dan persamaan garis singgung menjadi fokus utama dalam video ini.

Kita sudah melihat definisi dari turunan di suatu titik.

Jadi sekarang kita kembali ke pengertian itu turunan di suatu titik kita bisa tulis sebagai

F aksen A adalah limit dari delta X menuju ke 0 dari F A plus delta X dikurangi dengan F A dibagi dengan delta X.

Nah sebelum melanjutkan kita coba tata ulang penulisan ini kita menuliskan X sebagai A ditambah delta X.

Maka delta X menuju ke 0 itu sama artinya dengan X menuju ke A.

Akibatnya limit ini dapat ditulis menjadi limit X menuju A dari F X dikurangi dengan F A dibagi dengan delta X adalah X kurang A.

Seperti itu dan ini merupakan alternatif lain dari definisi yang atas ini yang kita pakai.

Jadi at least kita punya dua buah definisi dengan menggunakan seperti ini atau menggunakan bentuk ini sebagai definisi dari turunan.

Nah tapi kita mau melanjutkan ini lebih lagi kita bisa menuliskan ini sebagai apa sekarang limitnya yang saya tulis terlebih dahulu.

Saya tulis limit dari X menuju A dari F X dikurangi dengan F A dibagi X min A.

Kemudian bagian limit ini saya pindah kesini dikurangi dengan F aksen A harus sama dengan 0.

Dan kalau limit dari ini semua itu sama dengan 0 maka tidak lain saya bisa menambahkan harga mutlak juga di sini.

Jadi limit harga mutlak ini juga 0 jika dan hanya jika limit yang di dalam harga mutlaknya sama dengan 0.

Hati-hati ya kalau limit dari harga mutlak dari sesuatu sama dengan 1 misalkan maka itu tidak berarti limit yang di dalamnya adalah 1.

Belum tentu bisa saja 1 bisa saja min 1 bahkan bisa tidak ada limitnya.

Tapi kalau limitnya sama dengan 0 maka yang di dalam pasti sama dengan 0 juga.

Nah dari sini apa yang bisa kita lakukan?

Kita bisa melakukan sekarang kita samakan penyebutnya sehingga kita dapatkan di sini limit dari X menuju A harga mutlak.

Maka saya punya apa di sini F X dikurangi dengan F A.

Kemudian ini kalau kita samakan penyebutnya dengan ini kita akan punya kurangi F aksen A dikali X min A dibagi semuanya dengan X min A harus sama dengan 0.

Nah ini bentuk ini sekarang bisa saya kurung dan saya tambahkan ini.

Oke nah kalau ini adalah Y sama dengan F X dan ini adalah titik A, F A.

Maka kita perhatikan ini persamaan yang di dalam sini itu adalah persamaan Y sama dengan F A plus F aksen A dikali X min A.

Nah perhatikan bahwa saya bisa punya cukup banyak garis yang melalui titik A, F A.

Saya gambarkan di sini tiga buah di antaranya.

Pada garis-garis ini kalau X menuju A maka nilai F X dikurangi dengan garis ini itu juga akan 0.

Karena mereka melalui titik yang sama yaitu A di sini.

Jadi ininya akan tetap dipenuhi bahwa dia sama dengan 0.

Tapi garis yang hijau-hijau ini itu tidak akan pernah bisa membuat limit yang atas ini dibagi dengan yang ini sama dengan 0.

Jadi yang kuning ini adalah sebuah garis yang sangat spesial dimana dia juga yang atasnya menuju ke 0

tapi kecepatan menuju ke 0 nya jauh lebih cepat dari yang lain-lainnya.

Jadi persamaan ini yang kita kenal dengan nama persamaan garis singgung

dia merupakan sebuah garis yang paling baik yang bisa mendekati F X.

Jadi kita katakan garis ini adalah sebuah hampiran linier dari F di sekitar A.