Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang teorema 5 relasi rekurensi linear non-homogen dalam matematika diskrit. Konsep relasi rekurensi linear non-homogen melibatkan fungsi n konstan sebagai bagian dari persamaan, dengan koefisien konstan c1, c2, hingga ck. Terdapat langkah-langkah untuk mencari solusi, dimulai dengan mencari solusi homogen dan solusi khusus. Untuk mencari solusi khusus, digunakan pendekatan trial and error dengan patokan tertentu, seperti polinomial berderajat satu. Teorema tersebut menyatakan bahwa solusi akhir terdiri dari solusi khusus ditambah solusi homogen, yang dapat dijelaskan melalui perhitungan matematis yang terperinci.

Kita sekarang akan lanjutkan relasi recurrence linear, tapi di sini bentuk yang seperti yang sebelumnya dibahas itu ditambah lagi dengan suatu fungsi n.

Nah fungsi n ini boleh konstanta ya, itu kita sebut sebagai relasi recurrence linear yang non-homogen dengan koefisiennya di sini masih konstan.

Jadi misalnya persamaannya itu bentuknya an sama dengan c1 an-1 ditambah c2 an-2 ditambah sampai ck an-k sama seperti sebelumnya

tapi di sini ada plus fn dimana c1, c2, c3 sampai ck itu konstanta.

Nah sekarang contohnya kita lihat misalnya kalau yang sebelumnya kita cuma punya an sama dengan an-1

sekarang persamaannya misalnya jadi bentuknya an sama dengan an-1 plus dua pangkat n

jadi ada dua pangkat n yang seperti lepas dari barisan an-nya

atau misalnya an sama dengan an-1 ditambah an-2 plus n2 plus n1

atau misalnya lagi an sama dengan an-1 ditambah an-2 ditambah an-3 plus n!

Nah untuk beberapa kasus ini ada caranya untuk mencari solusinya

jadi teoremanya di sini jika ANP adalah solusi khusus untuk relasi recurrence non-homogen dengan koefisien konstan

yaitu berupa AN sama dengan c1 an-1 ditambah c2 an-2 sampai ck an-k ditambah fn

maka setiap solusinya membentuk ANP yang penamanya solusi khusus ditambah ANH

dimana ANH ini merupakan kita sebut sebagai solusi homogen

dia merupakan solusi dari AN sama dengan c1 an-1 ditambah c2 an-2 ditambah sampai ck an-k

pertama kita cari yang homogen dulu sama seperti yang lalu gitu ya

kita lihat contohnya dulu ya untuk kasus ini

ada beberapa patokan karena ini sebetulnya kita harus trial and error untuk mencoba fungsi yang cocok

maka nanti solusi khususnya itu diperkirakan akan sama dengan cx plus d

jadi sama-sama polinomial berderajat satu

kalau a-n nanti solusinya adalah c kali a-n

ini kira-kira solusi khusus yang mungkin dapat digunakan

kalau bentuknya lain lagi berarti kita harus cari lagi

kenapa ini bentuknya kaya dijumlahkan aja gitu ya

tadi kan teoremanya mengatakan solusinya itu akan membentuk AN khusus ditambah AN homogen

kita punya ANP adalah solusi khusus untuk relasi recurrence dengan koefisien konstan

jadi ANnya sama dengan c1 kali a-1 ditambah c2 kali a-2 sampai ck kali a-k ditambah fn

maka kalau kita punya bn itu solusi yang kedua

nanti kita akan dapat bn sama dengan c1 kali bn-1 ditambah c2 kali bn-2 sampai ck kali bn-k ditambah fn

karena disini ANnya itu dimisalkan adalah solusi bn

jadi kalau kita kurangi maka kita akan dapat c1 kali a-1 khusus tadi p-bn-1

kemudian ditambah c2 kali a-2 p-bn-2 sampai ck kali a-k p-bn-k

bahwa bn-anp itu merupakan solusi dari relasi recurrence yang homogen

karena kita lihat disini solusinya itu tidak membentuk suku tambahan

berarti kan kita solusinya itu adalah anh

karena si anh itu tadi kita dapatkan dari si bn-nya

jadi solusinya adalah kenapa disini bisa ditambahkan an yang khusus ditambah an yang homogen