Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas analisis error untuk metode trapezoidal dan Simpson dalam konteks analisis numerik. Pada metode trapezoidal, jika fungsi pi tidak berganti tanda, digunakan rumus integral pertama untuk menghitung error. Sedangkan pada metode Simpson, karena fungsi berganti tanda, digunakan rumus integral keempat untuk error yang lebih akurat. Penjelasan ini mengungkapkan bahwa Simpson lebih akurat daripada midpoint, dan midpoint lebih akurat daripada trapezoidal dalam mengestimasi integral numerik. Metode Simpson memberikan hasil yang lebih akurat karena errornya dibagi dengan bilangan yang lebih besar dibandingkan metode trapezoidal dan midpoint.

Sekarang kita lihat bagaimana akurasi untuk rumus kedua kita yaitu trapezoidal rule.

Nah ingat bahwa dalam trapezoidal rule kita mendekati atau menginterpolasi jadi dalam hal ini

Fx itu diinterpolasi dengan garis lurus yaitu P1 x di titik x sama dengan a dan x sama dengan b

saya namakan ini x0 ini adalah x1 jadi kita interpolasi di dua titik.

Jadi ini dia, ini adalah Fx, ini adalah titik a yang sama dengan x0, ini adalah titik b yang sama dengan x1.

Saya interpolasi dengan suatu garis lurus, ini adalah P1, ini adalah Fx. Jadi ini yang terjadi.

Nah sekarang apa yang disebut dengan pi tadi, singgah pi x itu kan sama dengan x dikurang x0 dikalikan x dikurang x1

Nah perhatikan bahwa pada interval dari a sampai b, x kurang a itu selalu positif, x kurang b selalu negatif dia akan selalu negatif.

Jadi tidak ada pergantian tanda sama sekali.

Nah akibatnya kita akan menggunakan rumus yang pertama bukan yang kedua.

Jadi apabila fungsi pi ini tidak berganti tanda ingat kita akan menggunakan rumus yang pertama.

Jadi errornya ingat kalau rumus pertama simply integral dari a n yaitu turunan ke n plus 1

ingat n saya adalah 1 kan, ini 1 berarti turunan ke 2.

Katakanlah saya namakan sekarang di titik tata 1, ini namanya trapezoid berarti et,

dibagi dengan 2 factorial sama a karena n nya 1, n plus 1 nya jadi 2.

Tapi ini menjadi integral dari a sampai b, x kurang a kali x kurang b di x.

Tentu saja cara mencari integral ini anda bisa buka dulu,

misalnya ini anda spell menjadi x kuadrat dikurang a tambah b kali x ditambah a plus b gitu ya.

Jadi kita gunakan cara itu saja berarti et sama dengan turunan ke 2 di titik tata 1 dibagi 2 factorial yaitu 2.

Jadi ini saya spell out dulu menjadi x kuadrat minus a tambah b x ditambah a b.

Jadi ini akan sama dengan 1 per 3 x pangkat 3 dikurang a tambah b per 2 kali x kuadrat ditambah dengan a b x.

Ini a b, nah sehingga kita masukkan dulu b, jadi ini akan sama dengan turunan ke 2 dibagi dengan 2,

ini menjadi b pangkat 3 per 3 dikurang a plus b per 2 kali b kuadrat ditambah a b kuadrat

dikurang, sekarang masukkan a yaitu sepertiga a pangkat 3 dikurang a tambah b per 2 kali a kuadrat

Nah ini tentu saja anda bisa work out disimplify gitu ya,

karena disini ada b pangkat 3 nanti akan ada pengurangnya a pangkat 3 disininya ada sepertiga,

tapi kelihatannya tidak terlalu straight forward untuk dapat dicari dengan mudah.

Sebetulnya ada trick supaya hasil integralnya ini gampang untuk anda selesaikan.

Saya akan remind lagi atau kita lihat apa yang disebut dengan integration by parts,

supaya tidak terlalu messy, jadi tidak terlalu ribet gitu.

Saya akan gunakan teknik integration by parts,

jadi integration by parts mengatakan integral f kali dg itu sama dengan fg minus integral g df,

Jadi saya ingin mencari tadi integral a, b, f x kurang a kalikan x kurang b di x,

saya tulis ulang ini akan sama dengan setengah integral a, b, x kurang a kali dx kurang b kuadrat.

Perhatikan bahwa dx kurang b kuadrat itu akan sama dengan 2 kali x kurang b di x.

Tapi di sini saya ambil setengah, ini akan menyebabkan 2 dengan setengahnya saling cancel,

Namun apa yang terjadi saya bisa langsung gunakan rumus ini,

berarti ini akan sama dengan setengah x minus a kali x minus b kuadrat f kali g,

jadi kalau integral f dg ini adalah g saya, berarti f kali g dikurang integral a, b, g yaitu x minus b kuadrat dx.

Kenapa? Karena dx kurang a itu sama aja dengan dx.

Nah, tapi ini langsung saya bisa dapatkan yaitu sepertiga,

jadi perhatikan ini sudah simple, integral dari ini akan sama dengan sepertiga x minus b pangkat 3.

Jadi ini akan sepertiga x minus b pangkat 3.

So, coba kalau masukkan a, masukkan b, yang ini akan 0,

yang ini akan 0, masukkan a, yang ini akan 0, yang ini saja yang akan survive.

Kalau masukkan a berarti a minus b pangkat 3 yaitu sama dengan minus dari minus,

minus dari minus berarti plus, b minus a pangkat 3.

Ini setengah, ini tiga, enam, enam kali di sini ada dua, dua belas.

Oh, jadi secara keseluruhan integral apa error kita saya proleh sekarang,

jadi ini secara keseluruhan saya tulis di sini, berarti a untuk trapezoid sama dengan turunan kedua

di some point teta 1 dibagi 2, maaf, 2 dikalikan 6 berarti 12 b minus a pangkat 3.

Tadi yang midpoint ini pembaginya 24, yang ini pembaginya 12,

mana yang lebih kecil, pasti yang dibagi oleh 24 akan lebih kecil.

Ini yang menjelaskan kenapa akurasi untuk midpoint lebih baik daripada trapezoid.

Nah, kita bisa terus sebetulnya untuk yang Simpson,

cuman saya akan tuliskan saja secara hasil akhirnya,

bahwa untuk Simpson, clue nya adalah fungsinya pasti akan berganti tanda,

ini pi x kita itu adalah x dikurang a dikali x dikurang a tambah b per 2,

ini titik keduanya dikalikan dengan x dikurang b.

kalau x saya di sebelah kiri dari a plus b per 2,

Kalau saya berada di sini, maka yang ini akan positif,

berarti positif kali negatif, kali negatif dia akan positif.

maka yang ini positif, yang ini positif, yang ini akan negatif,

Sehingga, fungsi error kita untuk Simpson itu akan sama dengan tadinya,

n nya 2 tambah 2, 4, berarti turunan ke 4 di some point katakanlah theta 2.

dan integral a sampai b, x minus a kali x minus a tambah b per 2,

tapi anda bisa bayangkan bahwa ini kan polinomialnya akan pangkat 4,

kalau diintegralkan berarti akan pangkat 5.

Jadi, akan muncul nanti b minus a pangkat 5.

Pembaginya mulai dengan 4 faktorial udah duduk di sini,

hasil dari sini nanti juga karena x saya di antara dengan b dan plus b per 2,

jadi panjang-panjang setelah saya tutuskan b dan a,

ini juga akan lebih kecil dari 1, akan cukup kecil.

Nanti anda bisa lihat bahwa pembaginya cukup kecil,

anda bisa lihat di buku-buku berapa sebetulnya errornya,

tapi akan kelihatan bahwa nanti di sini akan turunan ke 4,

dibagi dengan suatu bilangan, kalikan b minus a pangkat 5.

Bilangan ini adalah 4 faktorial kali sesuatu,

Sedangkan disananya, sehingga saya totalnya sekitar 96 atau berapa,

jadi ini jauh lebih besar sehingga hasil akurasinya pasti akan jauh lebih akurat dibanding 2 yang sebelumnya.

Nah, ini menunjukkan bahwa Simpson memang lebih akurat dibanding dengan midpoint,