Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tiga teorema dalam Matematika Diskrit tentang Teori Bilangan dan Kriptografi. Pertama, kaitan antara GCD AB yang sama dengan 1, yang disebut relatif prima, memungkinkan A membagi C jika A membagi BC dan GCD AB sama dengan 1. Kedua, jika bilangan prima P membagi hasil perkalian A1 hingga AN, maka P pasti membagi setiap AI. Terakhir, teorema tujuh mengaitkan modulo dengan kekongruenan, dimana jika AC kongruen dengan BC modulo M dan GCD CM adalah 1, maka A kongruen dengan B modulo M. Selain itu, lema juga menjelaskan bahwa jika AB relatif prima dan A membagi BC, maka A membagi C. Penjelasan ini membantu memahami sifat-sifat Bilangan Prima, FPB, dan KPK dalam Matematika Diskrit.

Masih banyak teorema atau lema ataupun sifat dari GCD.

Ini ada tiga teorema yang kita coba bahas.

Yang pertama adalah kaitan antara kalau GCD AB nya itu sama dengan 1.

Kalau kita punya ABC bilangan bulat positif yang GCD AB nya itu sama dengan 1,

kemudian A nya itu membagi BC, maka A pasti membagi C.

Kalau Anda ingat pada saat kita membicarakan faktor,

kita punya kalau A membagi C, maka A pasti membagi BC.

Di sini dikatakan kebalikannya tadi itu berlaku jika dan hanya jika GCD AB nya itu sama dengan 1.

Jadi ya dia relatif prime atau prima relatif.

Sifat yang kedua, di sini kita simpulkan dilema tiga.

Kalau kita punya bilangan prima P dan P nya membagi A1 x A2 x A3 sampai AN,

dimana masing-masing AI nya itu adalah bilangan bulat,

maka si P itu pasti membagi masing-masing AI nya.

Jadi kalau misalnya si P itu membagi kita misalkan 4 x 8 x 12 gitu ya,

Ini 4 x 8 x 12 ini kita cari bilangannya berapa.

bilangan itu bisa dituliskan dalam hal ini bukan komposisi bilangan prima ya,

Jadi kemungkinan si P ini akan sama dengan 2 atau 4.

Nggak mungkin dia bilangan ganjil misalnya ya.

Dan teorema yang berikutnya teorema tujuh,

jadi kekongruenan yang sudah kita pelajari sebelumnya.

Jadi kalau kita punya M nya bilangan bulat positif,

kalau kita punya AC kongruen dengan BC modulo M,

sehingga A nya kongruen dengan B modulo M.

Kalau masih ingat kebalikannya pasti berlaku ya,

jadi kalau kita kalikan dengan C yang sama,

maka AC akan kongruen dengan BC modulo M,

Nah teorema ini mengatakan kebalikannya hanya berlaku,

kalau si GCD atau HPBCM nya itu sama dengan 1,

Berikutnya lagi ada juga lema yang menggunakan sifat,

buktinya ini kita pakai si teorema biso tadi,

tadi dikatakan bahwa si GCD itu bisa dituliskan dalam

Kemudian semuanya ini kita kalikan dengan C,

karena kita mau lihat kaitannya dengan C,

jadi SA C ditambah TB C itu kan sama dengan 1 kali C,

Dari sini kita akan tahu bahwa semua faktor dari SA C dan TB C itu

jadi kita akan bisa menunjukkan A nya membagi C.

Dengan cara yang sama juga yang untuk SA C,

maka kita bisa menyimpulkan bahwa A itu membagi SA C plus TB C,

Itu langkah untuk membuktikan kalau A membagi BC,

maka kita bisa menunjukkan A nya juga membagi C.

Jadi itu yang bisa kita bahas untuk sifat-sifat dari Bilangan Prima