Vektor

1.1 Definisi Vektor

Sebuah vektor memiliki besar dan arah. Sebuah besaran vektor merupakan suatu kuantitas yang dapat diukur, serta memiliki besar dan arah sehingga dapat direpresentasikan sebagai vektor.

Contoh besaran vektor: kecepatan, percepatan, momentum, perpindahan, medan listrik, medan magnet.

Perlu diketahui bahwa besaran vektor $\ne$ vektor. Alaminya vektor sendiri adalah sebuah objek matematik. Sebuah besaran vektor merupakan besaran fisis yang dapat direpresentasikan dengan vektor karena besaran tersebut punya besar dan arah.

1.2 Operasi Vektor

Operasi vektor terdiri atas penjumlahan dan perkalian vektor.

1. Penjumlahan Vektor

   Secara umum, penjumlahan vektor dilakukan dengan menyambungkan ujung-ujung dua vektor (atau lebih). Vektor hasil penjumlahannya adalah garis lurus dari titik awal hingga titik akhir susunan vektor tersebut.

   
   

   $$\color{red}\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$$

   Tanda minus ($-$) pada sebuah vektor menandakan sebuah vektor yang sama namun menghadap ke arah sebaliknya. Pada gambar di bawah terdapat vektor $-\vec{B}$. Gambar di atas menunjukkan bahwa $\vec{B}$ memiliki arah diagonal ke atas. Ketika kita memberikan ($-$) pada $\vec{B}$, vektor tersebut berbalik arah seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah. Oleh sebab itu, hasil penjumlahan antara kedua vektor tersebut adalah $\vec{A} + (-\vec{B})$ atau $\vec{A} - \vec{B}$.

   
   

   $$\color{red}\begin{aligned} \vec{D} &= \vec{A} + (-\vec{B}) \\ \vec{D} &= \vec{A} - \vec{B} \end{aligned}$$

   Seringkali vektor diberikan dalam bentuk matematisnya, misalnya $\vec{A} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ dan $\vec{B} = d\hat{i} + e\hat{j} + f\hat{k}$ dengan $\hat{i},\hat{j},$ dan $\hat{k}$ sebagai vektor satuan (vektor yang panjangnya satu) yang mengacu ke sumbu $x,y,$ dan $z$ secara berturut-turut. Penjumlahan antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ menghasilkan,

   $$d\begin{aligned} \vec{A} + \vec{B} = (a+d)\hat{i} + (b+e)\hat{j} + (c+f)\hat{k}. \end{aligned}$$

   Selain itu menentukan besarnya (panjangnya) vektor $\vec{A} + \vec{B}$ dilakukan dengan,

   $$\begin{aligned} |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{(a+d)^2 + (b+e)^2 + (c+f)^2}. \end{aligned}$$

📝 Menghitung Resultan dari 2 Vektor

1. Jika 2 vektor segaris dan searah maka tambahkan

2. Jika 2 vektor segaris dan berlawanan arah maka kurangkan

3. Jika 2 vektor mengapit sudut maka gunakan rumus

   $$\color{red} R=\sqrt{|\overrightarrow{A}|^2+|\overrightarrow{B}|^2+2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos\theta}$$

4. Perkalian Vektor

Perkalian vektor terdiri atas dua: perkalian titik (dot) dan perkalian silang (cross). Perkalian titik juga dianggap sebagai perkalian skalar karena hasil dari perkalian titik antara dua atau lebih vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian silang menghasilkan sebuah vektor baru yang arahnya tegak lurus terhadap vektor-vektor yang dikalikan.

• Dot

  Untuk dua vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ yang membentuk sudut $\theta$ terhadap satu sama lain, hasil perkalian titiknya adalah,

  $$\color{red}\begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta}. \end{aligned}$$

  
  

  $|\vec{A}|$, dan $|\vec{B}|$ adalah besar $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ secara berturut-turut. Misalkan diberi komponen masing-masing vektor $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ dan $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$. Hasil kali titik (dot product) antara kedua vektor tersebut adalah,

  $$\begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} &= (A_xB_x)(\hat{i} \cdot \hat{i}) + (A_yB_y)(\hat{j} \cdot \hat{j})+ (A_zB_z)(\hat{k} \cdot \hat{k}) \\ \vec{A} \cdot \vec{B} &= A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z. \end{aligned}$$

  Perhatikan bahwa $(\hat{i} \cdot \hat{i}) = (\hat{j} \cdot \hat{j}) = (\hat{k} \cdot \hat{k}) = 1$. Perkalian titik antara dua vektor satuan yang sama akan menghasilkan $1$. Sedangkan pekalian titik antara dua vektor satuan yang berbeda akan menghasikan $0$ (contoh: $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$).

• Cross

  Untuk dua vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ yang membentuk sudut $\theta$ terhadap satu sama lain, hasil perkalian silangnya adalah,

  $$\color{red}\begin{aligned} \vec{A} \times \vec{B} =( |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta})(\hat{A} \times \hat{B}). \end{aligned}$$

  $(\hat{A} \times \hat{B})$ adalah vektor yang arahnya tegak lurus vektor satuan $\hat{A}$ dan $\hat{B}$, yang arahnya ditentukan dengan aturan tangan kanan. Misalkan $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y\hat{j}$ dan $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j}$. Maka,

  $$\begin{aligned} \vec{A} \times \vec{B} &= (A_xB_y)(\hat{i}\times\hat{j}) + (A_yB_x) (\hat{j}\times\hat{i}) \\ \vec{A} \times \vec{B} &= A_xB_y \space \hat{k} + A_yB_x \space (-\hat{k}) \\ \vec{A} \times \vec{B} &= (A_xB_y - A_yB_x) \hat{k}. \end{aligned}$$

  Ada dua hal yang perlu diperhatikan di sini. Pertama, perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama akan menghasilkan $0$ (contoh: $\hat{i} \times \hat{i} = 0$). Sedangkan perkalian silang antara dua vektor satuan yang berbeda akan menghasilkan sebuah vektor satuan menurut aturan siklik. Kedua, aturan siklik memiliki sifat sebagai berikut:

  
  

  $$\begin{aligned} \hat{i} \times \hat{j} &= \hat{k} \\ \hat{j} \times \hat{k} &= \hat{i} \\ \hat{k} \times \hat{i} &= \hat{j}. \end{aligned}$$$$\begin{aligned} \hat{i} \times \hat{k} &= -\hat{j} \\ \hat{k} \times \hat{j} &= -\hat{i} \\ \hat{j} \times \hat{i} &= -\hat{k}. \end{aligned}$$$$\begin{aligned} -\hat{i} \times \hat{j} &= -\hat{k} \\ dst... \end{aligned}$$

  Perkalian silang juga dapat dilakukan menggunakan bentuk matriks sebagai berikut:

  
  

  $\overrightarrow{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{i}+A_z\hat{k}$
  

  $\overrightarrow{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{i}+B_z\hat{k}$
  

  $\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=\underbrace{\cancel{A_xB_x\;(\hat{i}\times\hat{i})}}_{\text{=0}}+A_xB_y(\hat{i}\times\hat{j})+\dots$
  

  $$\begin{aligned} \vec{A}\times\vec{B} &=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} \\ \vec{A}\times\vec{B} &= (A_yB_z - A_zB_y)\hat{i} -(A_xB_z-A_zB_x)\hat{j} +(A_xB_y - A_yB_x)\hat{k}. \end{aligned}$$

1.3 Komponen Vektor

Misalkan diberikan sebuah vektor $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$. Vektor tersebut merupakan vektor dua dimensi yang terdiri atas dua komponen yakni $a_x\hat{i}$ (yang merupakan sebuah vektor yang terletak hanya pada sumbu $x$) dan $a_y\hat{j}$ (yang merupakan sebuah vektor yang terletak hanya pada sumbu $y$). Memproyeksikan vektor berarti menguraikan vektor ke sumbu-sumbu koordinat (arah sumbu $x$ dan $y$ pada kasus ini karena vektor hanya 2 dimensi). Perlu diperhatikan bahwa proyeksi vektor merupakan sebuah besaran skalar. Proyeksi $\vec{a}$ ke $x$ akan menghasilkan $a_x$, dan proyeksi $\vec{a}$ ke $y$ akan menghasilkan $a_y$. Proses ini secara matematis dapat dituliskan sebagai dot product antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor satuan target proyeksi:

→ memproyeksikan vektor berarti menguraikan vektor ke sumbu koordinat yaitu arah sumbu x dan y

📝 Aturan Saat Memproyeksikan Vektor

1. Vektor yang harus diproyeksikan adalah vektor yang belum berarah ke sumbu x dan sumbu y

2. Proyeksi vektor harus mengapit vektor yang diproyeksikan

3. Menghitung panjang proyeksi gunakan unsur-unsur trigonometri

Untuk kasus khusus dimana sudut yang dibentuk vektor $\vec{a}$ dengan sumbu $x$ diketahui sebesar $\theta$, komponen-komponen $\vec{a}$ diberikan oleh

$a_x=a\cos\theta$

$a_y=a\sin\theta$

$a=|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

$a=|\vec{a}|$→ besar vektor

• vektor satuan → arah vektor dengan besar = 1

  $x\rightarrow\hat{i}$
  

  $y\rightarrow\hat{j}$
  

  $z\rightarrow\hat{k}$
  

  $\overrightarrow{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}$
  

  $\hat{a}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$
  

  apabila dikalikan tidak akan mempengaruhi nilai

• Vektor satuan merupakan vektor yang panjangnya satu. Vektor satuan dari $\vec{a}$ diberikan oleh persamaan berikut:

  $$\begin{aligned} \hat{a} &= \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2}}(a_x \hat{i} + a_y \hat{j}). \end{aligned}$$

  Apabila vektor satuan dikalikan komponen-komponen vektor lainnya, nilai komponen vektor yang bersangkutan tidak akan terpengaruh.

1.4 Contoh Soal

Diketahui:

$\overrightarrow{A} =(1,0,2)\\\overrightarrow{B}=(-2,3,0)$

Ditanya:

a. $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}$

b. $\overrightarrow{D}=\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{A}$

Jawab:

a. $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 2 \\ -2 & 3 & 0 \end{vmatrix}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=i\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ \end{vmatrix} - j\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \\ \end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \\ \end{vmatrix}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=-6\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k}$

b. $\overrightarrow{D}=\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{A}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{vmatrix} i & j & k \\ -2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=i\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{vmatrix} - j\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=6\hat{i}++4\hat{j}-3\hat{k}$

1.5 Latihan Soal dan Pembahasan

Nomor 1

Lima gaya sebidang tampak pada gambar dibawah ini yang bekerja pada suatu obyek. Tentukan resultan kelima gaya tersebut.

Nomor 2

Tiga buah gaya yang bekerja pada sebuah partikel dinyatakan sebagai berikut: $\vec{F}_1 = 20\hat{i} - 36\hat{j} +73\hat{k}$; $\vec{F}_2 = -17\hat{i} + 21\hat{j} - 46\hat{k}$, dan $\vec{F}_3 = -12 \hat{k}$. Carilah resultannya dalam bentuk komponen dan juga besarnya resultan tersebut.