Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh soal interpretasi perkalian titik vektor dan perpendikularitas. Penjelasan mengenai turunan vektor digunakan untuk membuktikan bahwa vektor A bisa konstan atau turunannya tegak lurus dengan vektor A. Dengan menggunakan relasi panjang vektor dan turunan dari dot product vektor, dapat disimpulkan bahwa jika vektor A tidak konstan, maka turunannya tegak lurus dengan vektor A. Hal ini terbukti ketika sudut antara vektor A dan turunan vektor A adalah 90 derajat, menunjukkan perpendikularitas keduanya.

Oke, demikianlah beberapa properties atau sifat-sifat dari turunan perkalian dua-dua vektor.

Sebenarnya masih banyak properties dari turunan perkalian vektor yang bisa kita bahas.

Misalnya, bagaimana kalau kita punya lebih dari dua vektor yang dikalikan, bagaimana ekspresi turunannya.

Jadi saya kira properties tersebut bisa diturunkan atau bisa didapatkan dengan mengkombinasikan hasil-hasil yang sudah kita turunkan.

Jadi kita tidak perlu turunkan secara eksplisit di sini.

Nah, sekarang saya akan mencoba membahas contoh aplikasi dari turunan vektor.

Jadi kita punya suatu vektor A, namakan saja A, yang memiliki panjang vektor 1.

Tunjukkan atau buktikan bahwa vektor A ini bisa konstan,

atau dA dt atau turunan dari vektor A ini tegak lurus dengan vektor A tersebut.

Oke, sebelum kita sama-sama membahas bagaimana pembuktian ini,

ada beberapa hal yang perlu digaris bawahi, dijelaskan.

Di sini statementnya adalah vektor A ini memiliki panjang vektor atau besar vektor nilainya 1.

Artinya bahwa kalau kita menghitung besar vektor A seperti ini,

yang ini kita tahu didapat dari akar A.A, ini nilainya 1.

Jadi yang nilainya 1 atau konstan, konstannya adalah 1, itu adalah besar vektor A.

Tapi tidak lantas bahwa vektor A ini harus konstan.

Tapi vektor A ini sendiri tidak harus konstan.

Yang kedua, ingin kita tunjukkan bahwa ada 2 kemungkinan yang bisa terjadi,

Pertama, apakah artinya either vektor A itu nilainya konstan,

kalau nilainya konstan maka jelas panjangnya juga konstan.

Atau dia tidak konstan tapi turunan A itu tegak lurus atau perpendicular dengan A.

Pertama kita bisa kembali ke panjang vektor, definisinya ini.

Kalau saya kuadratkan kedua ruas, panjang vektornya 1,

Atau dengan kata lain, saya punya relasi bahwa A.A itu sama dengan 1,

Jadi saya punya suatu vektor yang didotkan dengan dirinya sendiri nilainya 1.

Bagaimana sekarang kita menunjukkan bahwa A itu bisa berupa konstan,

atau tidak harus keduanya, dia bisa konstan,

atau kalau pun dia tidak konstan, dia akan tegak lurus dengan turunannya.

Caranya mudah, kita tinggal turunkan saja relasi ini,

kalau kita turunkan kedua ruasnya terhadap T.

Jadi kalau saya turunkan terhadap T, kedua ruasnya dari A.A,

maka kita bisa lihat ruas kanannya pasti 0,

Sedangkan ruas kirinya, apa yang terjadi dengan ruas kiri,

ruas kirinya adalah turunan dari dot product 2 buah vektor,

dan kebetulan vektornya sama, ini memudahkan kita.

Tapi kita ingat bahwa turunan dari dot product 2 buah vektor

itu sama dengan turunan dari vektor pertama,

Nah, karena kedua vektor tersebut sama, sama-sama A,

ditambah, untuk memudahkan ini saya kurung,

Sekarang kita ingat kembali salah satu sifat dari dot product,

Artinya kalau saya pertukarkan kedua vektor yang didot product kan,

ini adalah bentuk komutatif dari suku yang pertama.

Jadi saya punya relasi dadt.A sama dengan 0.

artinya bisa pertama bahwa vektor tersebut adalah vektor 0,

Oke, meskipun ini juga solusi, tapi kita tidak tertarik,

karena kita di awal mengasumsikan bahwa A adalah suatu vektor yang tidak 0.

Karena kalau A-nya konstan, turunannya akan 0.

Jadi 0 dikalikan vektor sembarang akan selalu 0.

maka kemungkinan ketiga adalah konsekuensi dari dot product.

Kalau saya punya dot product dari dua buah vektor,