Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang relasi rekurens linear dalam matematika diskrit, khususnya pada teknik perhitungan lanjutan. Relasi rekurens linier homogen berdajat k memiliki bentuk a_n = c1*a_(n-1) + c2*a_(n-2) + ... + ck*a_(n-k), dengan koefisien konstan c1 hingga ck sebagai bilangan real yang tidak boleh sama dengan 0. Persamaan ini disebut linier karena suku-sukunya memiliki pangkat 1 dan homogen karena tidak ada suku-suku lain yang mempunyai kelipatan dari suku yang lain. Contoh relasi rekurens linier homogen adalah p_n = 1,05 * p_(n-1) dan Fibonacci f_n = f_(n-1) + f_(n-2). Sedangkan relasi nonlinier seperti a_n = a_(n-1) + a_(n-2)^2 dan h_n = 4 * h_(n-1) + 2. Selain itu, b_n = n * b_(n-1) merupakan contoh relasi nonlinier yang tidak memiliki koefisien konstan karena koefisien berubah sesuai dengan variabelnya.

Sekarang kalau kita punya relasi recurrence nya kalau tadi kan cuma ada dua suku ya kalau sekarang sukunya banyak gitu misalnya.

Jadi kita punya relasi recurrence linier homogene berdajat k,

homogene itu dalam arti di dalam sukunya itu tidak ada suku lain yang tidak memuat a n min 1 atau a n min k gitu ya

tapi enggak ada misalnya plus n atau plus 2 atau plus 3 pangkat n gitu enggak ada ya.

Jadi relasi recurrence linier homogene berdajat k dengan koefisien konstan adalah relasi recurrence yang berbentuk a n nya sama dengan

c1 a n min 1 ditambah c2 a n min 2 ditambah sampai ck a n min k.

Nah ini disini c1 sampai ck itu biasanya bilangan real dan ck tidak boleh sama dengan 0

karena kalau sama dengan 0 artinya sukunya hanya sampai n min k min 1 dan ini kita sebut berdajat k.

Jadi dia akan disebut linier atau kenapa ini persamaan relasi recurrence disebut linier

karena suku-suku atau term a n min 1 sampai a k itu seluruhnya linier pangkatnya 1 ya jadi enggak ada yang a 3 kuadrat gitu itu enggak ada.

Terus dia disebut homogene karena disini tidak ada suku-suku yang mempunyai kelipatan dari a i gitu atau dari suku yang lain.

Koefisiennya konstan karena c i nya itu semua adalah konstanta berdajat k karena a n ini diekspresikan dalam k term atau k suku.

Jadi contohnya kalau kita punya p n itu sama dengan 1,05 kali p n min 1.

Nah ini linier karena p n min 1 nya kan pangkatnya 1 ya bukan kuadrat atau pangkat yang lain.

Homogene karena tidak ada fungsi yang lain ya berdajat 1 karena k nya disini 1 dan dia juga koefisiennya konstan.

Kemudian kalau yang Fibonacci f n sama dengan f n min 1 plus f n min 2 kita tahu disitu dia linier homogen juga dan derajatnya 2.

A n sama dengan a n min 4 dia linier juga homogen derajatnya 4 meskipun dia cuma ada satu suku tapi disini a n langsung sama dengan a n min 4.

Jadi min k nya k nya itu yang menyatakan derajatnya nanti kalau kita lihat di penyelesaiannya mungkin akan lebih jelas.

Nah kalau a n nya itu sama dengan a n min 1 plus a n min 2 kuadrat nah ini nonlinier karena ada suku yang pangkat 2.

Kemudian h n sama dengan 4 h n min 1 plus 2 ini yang tadi ya untuk memindahkan si apa namanya tadi

tapi bentuknya bukan begini ya rumusnya tapi serupa ini juga disebut non homogen karena ada plus 2 nya.

Dan b n sama dengan n b n min 1 itu bukan linier dan dia tidak punya koefisien konstan karena koefisiennya yang ada disini adalah n.