Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas definisi fungsi pembangkit dalam Matematika Diskrit, yang digunakan untuk merepresentasikan barisan dalam deret kuasa formal dan menyelesaikan masalah penghitungan. Fungsi pembangkit juga digunakan untuk mengubah relasi recurrence menjadi persamaan yang memuat fungsi pembangkit dan membuktikan identitas kombinatorial. Definisi fungsi pembangkit adalah GX = A0 + A1X + ... + AKX^K dalam bentuk deret atau sigma. Contoh penggunaannya adalah untuk barisan konstan, fungsi pembangkitnya adalah sigma dari koefisien kali X pangkat K. Untuk barisan berhingga, fungsi pembangkitnya dapat ditemukan dengan menambahkan AN+1 = 0 dan menghilangkan suku berikutnya. Jadi, fungsi pembangkit untuk barisan kombinasi adalah 1 + XManggatM.

Kita lanjutkan pembahasannya dengan topik fungsi pembangkit.

Kenapa kita harus belajar fungsi pembangkit?

Jadi fungsi pembangkit ini dapat digunakan untuk merepresentasikan barisan

dengan transformasi suku barisan menjadi koefisien X pangkat K dalam deret kuasa formal.

Jadi nanti kita dapatnya adalah berbentuk deret, fungsi yang berbentuk deret.

Fungsi pembangkit ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa jenis masalah penghitungan atau counting.

Misalnya banyak cara untuk memilih atau membagi objek dengan beberapa variasi kendala.

Kemudian banyak cara untuk menukar uang kertas ke uang koin dari beberapa pecahan.

Bisa juga digunakan untuk menyelesaikan relasi recurrence dengan mengubah relasi recurrence untuk suku-suku barisan

menjadi persamaan yang memuat fungsi pembangkit.

Dan juga bisa kita gunakan untuk membuktikan identitas kombinatorial.

Jadi kalau ada dua pernyataan itu kita buktikan dia sama.

Definisinya adalah fungsi pembangkit untuk barisan bilangan real A0, A1, AK, dan seterusnya adalah deret tahinga berikut

yaitu GX sama dengan A0 ditambah A1X ditambah sampai AK, X pangkat K, dan seterusnya.

Atau kalau kita tulis dalam bentuk sumasi jadi ini sigma jumlahan dari K sama dengan 0 sampai tahinga

Misalnya kita punya barisan AK dengan AK 3.

Kalau AK sama dengan 3 semua jadi itu barisannya konstan.

Karena ini fungsi konstan jadi lebih mudah carinya.

Fungsi pembangkitnya adalah sigma dari 3 kali X pangkat K.

Kalau AK sama dengan K plus 1 nanti kita punya fungsi pembangkitnya adalah deret dari X plus 1 dikali X pangkat K.

Jadi ini deret kuasa dengan koefisiennya diganti X plus 1.

Kalau A nya 2K nanti kita dapatkan deret kuasa dengan koefisiennya adalah 2 pangkat K.

Jadi ini hanya merubah bentuk representasi saja, kita tidak menghitung apa-apa.

Sekarang kalau kita punya barisannya berhingga, definisinya kan tadi barisan tahinga.

Kita bisa tetap melakukan atau mencari fungsi pembangkitnya dengan mengubah barisan hingga tadi yang A1 sampai AN

menjadi barisan tahinga dengan menambahkan AN plus 1 nya 0, AN plus 2 nya 0, AN plus 3 nya 0 dan seterusnya.

Jadi kalau kita punya fungsi pembangkit untuk barisan AN yang berhingga tadi,

itu akan sama dengan A0 ditambah A1 X ditambah sampai AN XN.

Kalau bentuk aslinya kan ditambah sampai AN plus 1 XN plus 1 dan seterusnya tapi AN plus 1 nya kan 0 jadi kita bisa hilangkan di sini.

Kita lihat dari kalau kita mau cari fungsinya dalam bentuk bukan deret kuasa tapi fungsi beneran,

bukan fungsi beneran sih, fungsi dalam bentuk yang ada X nya.

Fungsi pembangkitnya tadi kalau dalam bentuk deret kuasa itu adalah 1 plus X ditambah X kuadrat ditambah X manggat 3 ditambah X manggat 4 ditambah X manggat 5.

Kita tahu bahwa 1 ditambah X ditambah X kuadrat ditambah X manggat 3 sampai X manggat 5 itu akan sama dengan X manggat 6 minus 1 dibagi X minus 1.

Dengan catatan X nya tidak boleh sama dengan 1, kalau X nya sama dengan 1 nanti dia jadi tidak terdefinisi.

Sehingga fungsi GX nya itu adalah X manggat 6 minus 1 dibagi X minus 1.

Ini dalam bentuk fungsi X yang sebelumnya itu dalam bentuk deret kuasa.

Kita lihat contoh lainnya, jadi kalau kita punya suatu bilangan bulat positif M kemudian akanya barisannya tadi itu adalah kombinasi CMK untuk K nya 0, 1, 2, 3 sampai M.

Lalu bagaimana fungsi pembangkit dari barisan ini?

Jadi barisannya itu bentuknya adalah nilai dari kombinasinya tadi.

Jadi kita langsung menuliskan GX nya adalah CM0 ditambah CM1X ditambah CM2X kuadrat sampai CMMX manggat M.

Itu tinggal disubstitusi saja nilai K nya mulai dari 0 sampai M.

Kita tahu dari teori mabinomial GX yang seperti ini itu menunjukkan dia akan sama dengan 1 plus X manggat M.