Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas sifat turunan perkalian silang vektor dengan vektor. Turunan dari A cross B dapat diungkapkan sebagai operasi cross dari dua vektor, dengan aturan Leibniz untuk turunan dari perkalian cross dua vektor. Regrouping ekspresi turunan membantu memahami bahwa turunan dari A cross B sama dengan turunan vektor A cross B ditambah turunan vektor A cross turunan vektor B. Konsep ini dapat direpresentasikan dalam operasi determinan antara turunan vektor A dengan vektor B, serta vektor A dengan turunan vektor B.

Oke, sekarang bagaimana kalau kita punya cross product yang kita turunkan.

Seperti misalnya ini, saya punya dua buah vektor A cross B.

Kita sudah tahu bahwa kita bisa mengevaluasi A cross B sebagai determinan dari suatu matriks 3x3

Oh ya, mungkin saya juga perlu menyebut bahwa ada beberapa dari kalian yang terbiasa dengan konvensi

untuk komponen j ini pakai AX, BZ, gitu kan, dikurang AZ, DX, ya.

Tapi di sini minus, itu ya. Nah, itu sama saja kan?

Kalau kita masukkan minusnya, maka kita dapatkan hasil yang sama.

Jadi, ini tidak berbeda. Oke, sekarang bagaimana kalau saya, atau bagaimana kalau kita turunkan A cross B ini?

Jika kita sumsikan bahwa baik vektor A dan vektor B ini sama-sama fungsi dari suatu parameter skalar,

entahkanlah fungsi T. Saya akan menggunakan notasi aksen lagi untuk memudahkan agar tidak terlalu penuh

papan tulisnya, bahwa aksen di sini dipahami adalah turunan terhadap T,

atau turunan terhadap variable bebas dari fungsi A dan fungsi B.

Sekarang, mari kita coba kerjakan turunan dari A cross B.

Nah, turunan dari A cross B artinya kita menurunkan ekspresi ini.

Ekspresi ini adalah ekspansi atau pernyataan eksplisi dari A cross B,

dan artinya itu sama dengan kita menurunkan masing-masing ini.

Jadi, kalau boleh saya tulis secara eksplisit, ini berarti adalah aybz min azby aksen ditambah

azbx min axbz aksen ditambah axby min aybx aksen, yaitu k.

Nah, karena masing-masing suku ini, turunan dari masing-masing suku ini adalah,

izinya adalah fungsi-fungsi skalar, maka kita bisa terapkan lagi aturan lightness di sini

untuk masing-masing suku tersebut. Jadi, di sini saya punya ay aksen bz ditambah ay bz aksen,

dikurang az aksen by dikurang az by aksen, ini untuk komponen i.

Untuk komponen jnya, saya punya az aksen bx ditambah az bx aksen dikurang ax aksen bz dikurang

ax bz aksen, ini untuk komponen j. Dan terakhir untuk komponen knya,

saya tulis di bawah karena tidak muat, itu berarti adalah ax aksen by ditambah ax by aksen

dikurang ay aksen bx dikurang ay bx aksen untuk arah komponen k.

Nah, kalau Anda perhatikan bahwa di setiap kurung, ini saya menerapkan aturan lightness untuk ini dan ini,

ikan pula untuk yang lainnya. Jadi, kalau saya punya, kalau saya buka kurungnya, itu ada 12 suku.

Ini adalah ekspresi eksplisit dari turunan A x B. Sama seperti sebelumnya, kita bisa coba sederhanakan,

kita bisa coba nyatakan ekspresinya sebagai operasi cross dari dua buah vektor.

Bagaimana caranya? Caranya adalah mirip seperti tadi, kita coba regrouping.

Jadi, di sini saya akan menuliskan bagian ini, ay aksen bz dikurang dengan az aksen by.

Ay aksen bz dikurang az aksen by. Ini untuk i. Lalu untuk yang jnya,

sama, saya mengumpulkan dulu yang komponen A diaksenkan. Jadi, az aksen bx dan x aksen bz.

Az aksen bx dikurang ax aksen bz, ini komponen j. Ini kan pula untuk komponen knya,

komponen knya adalah ax aksen by dikurang ay aksen bx.

Oke, ini untuk komponen k. Tapi, saya masih punya enam suku lagi.

Apa itu? Untuk komponen ia ini, ay bz aksen dikurang az by aksen.

Jadi, saya taruh tulis di bawah. Ini adalah ay bz aksen dikurang az by aksen.

Ini komponen i. Ini kan pula untuk komponen yang j, az bx aksen dikurang ax bz aksen.

Dan komponen yang k, itu adalah ax by aksen dikurang ay bx aksen.

Oke, dan komponen ini adalah ax kurang ay.

Oke, nah regrouping ini tidak mengubah apa pun tentunya.

Tapi, dari sini kita bisa melihat satu hal. Saya akan coba hapus bagian atas karena saya butuh ruang.

Kalau Anda perhatikan, regrouping ini membagi kita menjadi dua kelompok besar masing-masing untuk komponen i, j, k.

Untuk kurung siku pertama ini, dan juga kurung siku kedua tentunya,

masing-masing kurung siku ini merepresentasikan cross product dari dua buah vektor.

Tapi vektor apa? Yang jelas bukan vektor a x b.

Karena di sini, di kurung siku pertama saya punya komponen a aksen.

Tapi dengan mudah Anda bisa identifikasi bahwa di kurung siku pertama itu tiada lain daripada komponen cross product a aksen dengan vektor b.

Jadi, kalau saya tulis ulang di sini, a x b diturunkan.

Kurung siku yang pertama ini menyatakan a aksen cross b.

Atau mungkin Anda bisa melihat kurung siku pertama ini sebagai suatu hasil determinan,

Sementara kurung siku yang kedua itu juga bisa dipandang sebagai hasil operasi determinan.

Dengan mudah Anda bisa verifikasi bahwa kurung siku yang pertama ini didapat dari operasi determinan berikut.

Sedangkan kurung siku yang kedua adalah hasil operasi dari determinan berikut.

Tapi kita tahu bahwa operasi determinan ini tiada lain daripada ekspresi a aksen, atau turunan vektor a,

Dan determinan yang kedua ini tiada lain daripada vektor a dikroskan dengan turunan dari vektor b.

Maka dengan kata lain kita bisa tulis bahwa turunan dari a x b itu dapat dinyatakan sebagai turunan dari vektor a dikros b.

Sekali lagi kita mendapatkan semacam aturan Leibniz untuk turunan dari perkalian kros atau kros produk dua buah vektor.