Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang limit dari fungsi vektor dalam kalkulus, di mana definisi limit fungsi vektor memperhitungkan jarak di ruang tiga dimensi. Limit dari fungsi vektor adalah limit dari masing-masing komponennya, sehingga untuk menghitung limit fungsi vektor, kita cukup menghitung per komponennya seperti dalam fungsi real biasa.

Sekarang kita akan melakukan kalkulus pada fungsi bernilai vektor.

Dan bagian pertama yang ingin kita bahas adalah bagaimana memberi arti pada limit dari fungsi vektor.

Kalau fungsi vektor RT ini dituliskan sebagai komponen-komponennya XT, YT, dan ZT.

Maka kita mau tahu apa artinya limit T menuju T0 dari RT sama dengan V0.

Tentu saja V0 disini haruslah sebuah vektor sebab RT nya sendiri adalah vektor.

Nah kalau kita mengingat definisi dari fungsi real yang biasa F dari R ke R.

Maka limit X menuju X0 dari Fx adalah L jika dan hanya jika untuk setiap epsilon positif ada delta yang positif.

Sehingga jika 0 lebih kecil dari X kurangi X0 lebih kecil dari delta.

Maka Fx kurangi L akan lebih kecil dari epsilon.

Seperti itu. Ini adalah definisi yang kita punya untuk limit dari fungsi yang biasa.

Nah kalau kita tiru saja definisi ini untuk fungsi vektor.

Maka kita akan dapatkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta yang positif.

Sehingga bagian ini masih dapat kita tiru begitu saja dari fungsi real.

Sebab apa? Sebab T maupun X disini adalah sama-sama bilangan real.

Di bagian ini kita dapat tiru sama persis dengan bagian real yang ini dengan fungsi real yang biasa.

Namun sekarang bagian yang ini kita tidak lagi dapat menggunakan harga mutlak dari ini kurang ini.

Sebab mereka adalah vektor dan bukan lagi bilangan real.

Tapi kita mengingat bahwa Fx kurangi L diambil harga mutlaknya.

Ini juga mengatakan jarak antara Fx dengan L.

Oleh karena itu bukannya meniru definisi ini.

Tetapi kita memodifikasi definisi ini dengan menggunakan jarak di R3.

Dan jarak di R3 adalah akar dari Xt kurangi X0 kuadrat ditambah Yt dikurangi Y0 kuadrat.

Sama dengan harus lebih kecil dari epsilon.

Jadi ini adalah definisi untuk limit fungsi yang bernilai vektor.

Sekarang kita perhatikan bahwa ini itu tidak pernah negatif.

Demikian juga ini lebih nggak pernah negatif.

Nah definisi ini mengatakan bahwa kalau epsilonnya kecil saya akan bisa memilih delta yang kecil.

Sehingga kalau ininya lebih kecil lagi ini juga bisa saya pilih jadi lebih kecil lagi.

Dengan demikian sama dengan mengatakan bahwa limit ini akan menuju ke 0.

Menuju ke 0 padahal ini tidak pernah negatif, tidak pernah negatif, tidak pernah negatif.

Jadi satu-satunya jalan supaya jumlahan ini bisa menuju ke 0

adalah kalau masing-masing komponennya semuanya menuju ke 0.

Dengan demikian kita katakan bahwa limit Rt ini akan sama dengan V0.

Kita katakan di sini bahwa limit T menuju T0 dari Rt adalah V0.

Jika dan hanya jika limit dari T menuju T0 dari Xt adalah X0.

Dan limit dari T menuju T0 dari Yt adalah Y0.

Jadi dengan kata lain limit dari fungsi vektor

itu adalah limit dari masing-masing komponen-komponennya.

Jadi untuk menghitung limit dari fungsi vektor cukup hitung per komponennya.

Dan per komponennya adalah limit yang biasa yang kita kenal di fungsi real yang biasa.