Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas teknik perhitungan lanjutan dalam Matematika Diskrit dengan fokus pada fungsi pembangkit untuk membuktikan identitas. Dalam proses ini, penggunaan persamaan identitas dari tabel dan deret kuasa diterapkan untuk mendapatkan hasil akhir. Contohnya, menggunakan fungsi pembangkit untuk menunjukkan kesetaraan antara sigma cnk kuadrat dengan c 2nn, yang keduanya menyatakan koefisien x pangkat n di 1 plus x pangkat 2n. Dengan demikian, identitas tersebut dapat dibuktikan dengan memperhatikan koefisien dan penggunaan fungsi pembangkit secara efektif.

dengan menyelesaikan relasi sebelumnya nanti akan diperoleh gx nya itu sama dengan 2 dibagi 1-3x

kalau kita menggunakan persamaan identitas yang dari tabel 1 dibagi 1-ax itu akan sama dengan deret kuasa yang koefisiennya adalah a pangkat k

sehingga nanti kita akan peroleh gx nya itu adalah 2 dikali sigma 3 pangkat k x pangkat k

disini koefisiennya 3 pangkat k tapi ada pengali 2 disana ini boleh dimasukkan ke dalam sigma nya

ini 2 nya dapatnya dari gx nya itu sama dengan 2 dibagi 1-3x

1-3x nya kita ambil disini dengan a sama dengan 3

jadi nanti kita akan lihat bentuk terakhirnya koefisiennya adalah 2 dikali 3 pangkat k

untuk membuktikan identitas ini juga bisa kita lihat contohnya

disini gunakan fungsi pembangkit untuk menunjukkan sigma cnk kuadrat maksudnya kombinasi nk dikuadratkan

kemudian penamanya dijumlahkan dari k 0 sampai n itu akan sama dengan kombinasi 2nn

untuk n nya bilangan bolat positif untuk kombinasinya

di teorema binomial kita bisa lihat bahwa c 2nn itu adalah koefisiennya x pangkat n untuk fungsi 1 plus x pangkat 2n

dan kita juga tahu bahwa 1 plus x pangkat 2n itu sama dengan 1 plus x pangkat n kemudian dikuadratkan

sehingga kita tahu 1 plus x pangkat n itu akan sama menjadi jumlahan dari cn0 ditambah cn1x ditambah cn2x kuadrat sampai cnb x pangkat n

ini kemudian kita kuadratkan sehingga untuk persamaan di atas dengan setelah kita melakukan kuadrat

itu nanti akan sama dengan cn0 x cnn ditambah cn1 x cnn-1 ditambah cn2 x cnn-2 seterusnya sampai cnn x cn0

atau sama dengan jumlahan dari kan 0 sampai n dari cnk nilainya dikuadratkan

jadi karena c 2nn dan sigma cnk kuadrat tadi sama-sama menyatakan koefisien x pangkat n di 1 plus x pangkat 2n

maka kita bisa mengambil kesimpulan bahwa keduanya setara, jadi sigma ini sama c 2nn itu sama

kita sudah selesai bahas tentang fungsi pembangkit