Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas teorema 2 relasi rekurens linear dalam Matematika Diskrit, dengan contoh relasi rekurens AN = AN-1 + 2AN-2. Dengan nilai awal A0 = 2 dan A1 = 7, kita dapatkan solusi umum AN = alfa1 * 2^n + alfa2 * (-1)^n. Dengan substitusi nilai awal, kita dapatkan sistem persamaan untuk mencari nilai alfa1 dan alfa2, yaitu alfa1 = 3 dan alfa2 = -1. Sehingga solusi akhirnya adalah AN = 3 * 2^n - (-1)^n.

Kita lihat contoh yang lain, misalnya kita punya relasi recurrence AN sama dengan AN-1 ditambah 2 AN-2

nilai awalnya A0-nya ditetapkan 2, A1-nya sama dengan 7

jadi disini koefisiennya tidak satu semua, ada yang suku yang kedua itu koefisiennya 2

kita punya teorema tadi yang mengatakan kita substitusikan dulu AN sama dengan R-n ke dalam persamaan ini

nanti kita bagi karena disini ada R-n sama dengan R-n-1 ditambah 2 R-n-2

kita pindahkan ke sebelah kiri, maka kita akan mendapatkan persamaan karakteristik R2-R-2 sama dengan 0

dari sini kita cari akar-akar persamaannya, kita dapat R sama dengan 2 dan R sama dengan R-1

maka solusinya adalah AN adalah alfa 1 kali 2 pangkat n, 2 itu adalah salah satu akarnya

ditambah alfa 2 kali minus 1 pangkat n, minus 1 juga akarnya

jadi ini kita punya akar yang berbeda 2 dan minus 1

kalau persamaan yang kita dapat sekarang ini

AN sama dengan alfa 1 kali 2 pangkat n ditambah alfa 2 kali minus 1 pangkat n, ini kan solusi umum

kalau mencari solusi khususnya kita mesti melihat nilai awalnya

nilai awalnya tadi diberikan A0nya 2 dan A1nya 7

jadi kita masukkan untuk A0 kita akan mendapatkan A0 sama dengan alfa 1 kali 2 pangkat n ditambah alfa 2 kali minus 1 pangkat n

jadi kita akan mendapatkan alfa 1 ditambah alfa 2 itu sama dengan 2

kemudian A1nya kita masukkan 7 kemudian di persamaannya kita substitusi n sama dengan 1

kita dapat alfa 1 kali 2 ditambah alfa 2 kali minus 1

setelah ini kita dapat sistem persamaan dalam 2 variable

jadi kita bisa cari solusinya seperti kalau kita mencari sistem persamaan linear

nanti kalau dicari solusinya alfa 1nya sama dengan 3 dan alfa 2nya sama dengan minus 1

jadi kalau kita masukkan kembali ke barisannya

kita akan mendapatkan disini 3 kali 2 pangkat n dikurang minus 1 pangkat n

dari mana? karena dari sini alfa 1nya dapatnya 3

terus dikali 2 pangkat n dari solusi umumnya

kemudian plus disini karena dapatnya solusinya itu minus 1

atau akarnya tadi dari persamaan linearnya tadi solusinya minus 1

berarti disini kita tambahkan minus 1 kali minus 1 lagi minus 1 yang kedua ini adalah akar dari persamaan pangkat n

jadi inilah solusi dari AN sama dengan AN minus 1 plus 2 AN minus 2