Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang sifat simetris pada relasi dalam Matematika Diskrit. Relasi simetris terjadi ketika setiap pasangan terurut A B memiliki kebalikan B A di dalam himpunan relasi. Jika A B dan B A terdapat di dalam relasi, namun A tidak sama dengan B, maka relasi tersebut disebut antisimetris. Melalui contoh-contoh yang diberikan, dapat dilihat perbedaan antara relasi simetris dan antisimetris. Perhatikan bahwa relasi yang simetris akan memiliki setiap pasangan A B dengan kebalikannya B A di dalam relasi, sedangkan relasi antisimetris tidak akan memiliki pasangan A B dan B A secara bersamaan jika A tidak sama dengan B.

Selain sifat refleksif, relasi itu juga mempunyai sifat yang lain, yaitu kita sebut sifat yang simetris.

Kapan suatu relasi disebut sebagai relasi yang simetris?

Relasi ini masih pada himpunan A saja, himpunannya hanya satu dan relasinya itu adalah A x A.

Jadi sesuatu pasangan terurut B A itu masuk di dalam himpunan relasinya apabila A B juga ada di situ

dan ini juga berlaku untuk setiap A B, anggota A.

Kalau misalnya A B ada di R kemudian B A ada di R dan A hanya pada saat sama dengan B,

maka kita sebut relasinya itu antisimetris.

Jadi kalau kita menggunakan quantifier, kita mengatakan untuk setiap A dan untuk setiap B,

maka A B anggota R, B A nya juga harus ada di R.

Itu sifat yang kita sebut sebagai simetris.

Tapi kalau yang antisimetris, kalau kita punya A B dan B A, keduanya ada di R,

maka A nya harus sama dengan B atau A nya pasti sama dengan B.

Jadi dalam arti kita tidak boleh punya A B dan B A sekaligus kalau A nya tidak sama dengan B,

itu yang kita sebut sebagai antisimetris.

Untuk lebih jelasnya kita lihat contohnya ya.

Misalnya kita punya relasi pertama itu isinya 1 1, 1 2, 2 1, 2 2, 3 4, 4 1, 4 4.

Jadi ingat ya, simetris itu adalah kalau A B ada di situ, B A nya juga harus ada di situ.

Kalau untuk yang A B nya sama, kita tidak usah lihat ya, kita tidak bahas di dalam kasus ini.

Jadi kita lihat, kita punya 1 2 di sini, 2 1 juga ada di sini.

Kalau dia tidak simetris, itu antisimetris enggak?

Belum tentu, dalam contoh ini kita punya 1 2 dan 2 1, A B dan B A,

Sehingga yang relasi pertama ini kita tidak bisa bilang dia antisimetris,

tapi kita bilang dia tidak simetris saja.

Jadi kita lihat di sini, 1 1 kita tidak perlu lihat.

Kita lihat elemen berikutnya, ada 1 2 dan ada 2 1.

Jadi 3 1 juga kita enggak usah cek di situ.

Yang di sini kita punya A B dan B A nya ada di situ.

Dari definisinya itu untuk setiap A dan B,

Kita lihat bahwa dalam definisinya itu harus untuk semua A B anggota A.

Kalau B A nya ada di situ, maka A B nya harus ada di situ.

Atau sebaliknya kalau A B ada di situ, B A nya ada di situ.

Kita lihat yang 1 1, 1 2, 1 4, 2 1, 2 2, 3 3, 4 1, dan 4 4.

Kemudian yang lain kan 1 1, 2 2, 3 3, 4 4.

Berarti karena setiap ada pasangan A B itu B A nya ada di situ,

Tidak simetris seperti contoh yang pertama.

Jadi setiap elemen itu yang A B dengan A B yang tidak sama itu B A nya enggak ada.

Berarti kita bisa bilang dia adalah antisimetris.

Jadi bisa ya bedakan ya yang tidak simetris sama antisimetris.

kalau kita punya satu ada yang pasangan ada A B dengan B A itu simetris kan ya untuk semuanya.

Jadi dia tidak simetris cuma disini ada yang A B nya juga B A nya disitu.

Kalau semua kita punya pasangan A B B A nya enggak ada itu namanya antisimetris.

Tapi kalau misalnya ada gabungannya jadi ada bagian yang A B B A nya ada

terus ada yang A B B A nya enggak ada atau C D C nya enggak ada gitu ya.

Kalau dia misalnya terdiri dari satu elemen 3 4 ini simetris bukan?

Udah pasti bukan karena kita kalau punya 3 4 harus punya 4 3.

Antisimetris ya karena kita punya 3 4 4 3 nya enggak ada.

Jadi ini contoh yang terakhir adalah contoh yang antisimetris.