Ledi Trialdi, S.E., M.P.P.

Video ini membahas konsep pertumbuhan dan elastisitas dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis, dengan fokus pada pertumbuhan kontinu. Pertumbuhan kontinu dapat dirumuskan menggunakan fungsi natural logarithmic, di mana pertumbuhan Y dapat diinterpretasikan sebagai d ln Y. Untuk mencari laju pertumbuhan kontinu dari fungsi V, kita dapat menggunakan rumus turunan lon yang hasilnya akan sama dengan laju pertumbuhan kontinu R. Dengan demikian, kita dapat menghitung laju pertumbuhan kontinu dari fungsi future value V dengan menggunakan rumus turunan lon atau rumus pertumbuhan kontinu secara langsung.

Oke, teman-teman, sekarang kita masuk ke pembahasan selanjutnya,

dan ini terkait dengan aplikasi di dalam ilmu ekonomi.

Kita bicara mengenai pertumbuhan dan elastisitas.

Di konsep pertumbuhan, sebelumnya kita sudah bahas mengenai compound interest rate,

dan, apa namanya, yang discrete case dan continuous case,

dan sebenarnya itu adalah konsep pertumbuhan pada dasarnya, ya.

Dan sekarang kita fokus ke pertumbuhan continuous yang kita sudah pelajari sebelumnya.

Dan ini yang saya mau perlihatkan kepada teman-teman semua di awal, ya.

Jadi kalau kita punya fungsi seperti ini,

di mana T ini adalah, fungsi dari, T ini adalah waktu, ya.

Dan kemudian, untuk merumuskan angka pertumbuhannya,

ya, pertumbuhan dari Y ini bisa dirumuskan seperti demikian, ya.

Kalau diinterpretasikan, ini adalah pertumbuhan Y sepanjang waktu T, gitu ya.

Ini adalah pertumbuhan sepanjang waktu T.

Jadi kalau T-nya, waktunya berubah sekian tahun,

atau berubah mungkin, ya, mungkin dalam hitungan detik gitu ya,

kira-kira pertumbuhan Y-nya, dY per Y-nya berapa, oke.

Nah, pertumbuhan bisa dirumuskan seperti ini, dY per Y per dT,

atau kita bisa modifikasi ini menjadi, ya, ini sama saja ya,

Atau juga bisa kita tuliskan rumusnya seperti ini, dY per Y dikali 1 per 1 per dT, oke.

Alternatif yang lain, ya, alternatif yang lain adalah kita menggunakan fungsi natural logarithmic, ya.

Fungsi natural logarithmic ini bisa kita gunakan dalam konteks continuous growth, oke.

Kita tahu di dalam derivatif turunan, derivatif atau turunan dari fungsi natural logarithmic,

ya, kalau kita punya fungsi, fungsi ln Y, ya,

maka turunan dari ln Y terhadap Y adalah 1 per 1 per Y, ya.

Dengan hubungan ini, oke, dengan hubungan ini,

maka kita bisa dapatkan, ya, dY-nya kalau kita pindahkan ke sebelah kanan,

maka menjadi kita punya dY per Y, ya, dY per Y itu sama dengan d ln Y.

Jadi setiap kita mendapatkan ekspresi seperti ini, dY per Y itu akan sama dengan d ln Y.

Atau kalau sebaliknya, kalau kita punya ekspresi d ln Y,

itu artinya d ln Y itu adalah dY per dY per Y, oke.

Sehingga angka pertumbuhan, ya, yang kita rumuskan di sini,

kita punya ekspresi yang pertama di sini, ya, dY pertumbuhan itu adalah dY per Y per dt.

Oke, kita tahu dY per Y itu adalah ln Y, d ln Y, ya,

maka pertumbuhan di sini, ya, bisa kita tuliskan juga seperti demikian,

R ini adalah d ln Y per dt, atau ini adalah d ln Y, kita tahu, dY per Y per dt.

Oke, ini continuous growth, dan kemudian kalau kita punya fungsi umum untuk continuous growth,

untuk intersect dengan bunga yang continuous seperti ini,

maka kita bisa cari tahu, gitu ya, pertumbuhan dari V ini berapa sepanjang waktu T ini.

Oke, kita bisa lakukan, hitung dengan rumus ini, ya,

dV per dt, atau turunan dari V terhadap T, dikalikan dengan 1 per V, ya.

Jadi, kita gunakan rumus yang, kalau di sini, ya, yang ini, ya, kita pakai rumus ini,

dY per dt 1 per Y, atau ini dV per dt kali 1 per V.

Gimana kita mendapatkan turunan dari V terhadap T?

Turunan dari V terhadap T, ini kan sebenarnya kita ingat kembali, ya, fungsi aturan rantai.

Oke, sebelum aturan rantainya, mungkin saya mengingatkan kembali,

kalau kita punya fungsi seperti ini, E pangkat X, turunan E pangkat X terhadap X, itu sama dengan EX, gampang sekali ya.

Nah, kemudian kalau saya punya fungsinya adalah, ya, E adalah fungsi dari X, gitu kan, diturunkan ini terhadap FX,

maka hasilnya adalah E pangkat, E pangkat FX, seperti ini, ya, semudah itu.

Nah, kemudian kalau kita lihat di sini, fungsi V, ingat variabelnya yang kita lihat adalah ini adalah fungsi,

sorry, variabel dependant kita, dan variabel independant kita adalah T.

Sementara R dan A itu adalah angka tertentu, konstan tapi dinyatakan dalam bentuk parameter di sini, ya.

Oke, nah kita punya ini ekspresi ini sebenarnya sama aja dengan kita nyatakan V sama dengan AE fungsi dari T.

Oke ya, maka begitu kita mencari DV per DT, ya, DV per DT ini akan sama dengan, saya tuliskan di sini aja ya,

ini DV per DT-nya akan sama dengan apa, kita pakai rumus rantai di sini ya, ini DV, DT.

T-nya mempengaruhi FT, kemudian FT-nya ya, ini yang mempengaruhi V, oke.

Oke, DV-nya adalah ini ya, saya tuliskan lebih lengkap, DV-nya adalah AEFT.

Oke, turunkan terhadap FT di sini, kemudian ini tetap sama ya, DFT per DT.

Nah, ini kan, E pangkat FX di turunan terhadap FX adalah EFX, EFT di turunan terhadap FT ini adalah EFT.

Tapi ada koeficienya di sini, maka kita tuliskan ini adalah pastinya A dikalikan turunan ini EFT terhadap FT ini adalah EFT.

Oke, jadi seperti ini, dan turunan FT terhadap T karena FT-nya adalah RT, ini FT-nya kita kan,

kalau RT kita turunkan terhadap T maka kita dapatkan ini sebesar R, gitu ya, bisa dipahami ya.

Jadi, maka kita kalau kita tuliskan secara lengkap kita dapatkan AEFT-nya adalah RT ya, seperti ini,

Oke, kalau kita mau mendapatkan ini secara keseluruhan, DV per DT kemudian dikalikan 1 per V.

Jadi ini dibagi dengan V, apa V-nya? V-nya adalah AE pangkat RT.

Jadi, sama persis dengan ini, ya, sehingga hasil akhirnya apa?

Pertumbuhan dari V secara kontinus itu sama dengan, ini kan coret ya, dengan ini ya, sama dengan R.

Jadi kalau kita punya fungsi pertumbuhan seperti ini, V sama dengan AERT yang ini ya, maka tingkat pertumbuhan kontinusnya sebesar apa?

Oke, semoga bisa dipahami ya, bagaimana kita mendapatkan R sebagai angka atau laju pertumbuhan dari fungsi, fungsi kontinus V ini.

Untuk mendapatkan R juga kita bisa lakukan dengan cara ini.

Ada pangkat di sini, biasanya kalau ada pangkat-pangkatan lebih enak diekspresikan, apalagi dikaitkan dengan pertumbuhan ya,

diekspresikan persamaan ini dalam bentuk fungsi natural logarithmic, ya.

Jadi kita rumuskan V di sini dalam bentuk lon, maka kita punya lon V, tapi kalau kita punya lon di sebelah si kiri persamaan,

supaya persamaannya tidak berubah, maka yang sebelah kanan juga dalam bentuk lon, ya.

Jadi, ya ini hasil lengkapnya ya, jadi kalau saya tuliskan ulang di sini, ini lon V awalnya seperti ini ya,

Dan ingat kalau di dalam natural logarithmic ya, kalau ada perkalian di dalam lonnya, kita bisa nyatakan seperti ini ya,

ini adalah lon A plus lon E, pangkat R, T.

Oke, dan kemudian juga kita ketahui kalau ada pangkat ya di sini, maka pangkat ini bisa pindah ya,

mendahului fungsi lonnya ini ya, maka kita bisa tuliskan R, T dikalikan lon E.

Oke, ini yang kita dapatkan dan kita ketahui juga kemudian lon E ini, ini sama dengan 1.

Maka hasil akhirnya lon V adalah lon A plus R, T.

Oke, dan kemudian kita mau mencari laju pertumbuhan V sepanjang waktu, kita tahu rumus pertumbuhan adalah ini,

maka pertumbuhannya yang kita cari adalah, pertumbuhan V itu adalah D lon V per DT.

Atau kita turunkan lon V ini terhadap T dan kita punya T cuma ada di sini.

Kalau lon V diturunkan terhadap T, maka tinggal lihat T ini pangkatnya 1,

maka turunannya adalah koefisiennya, yang tidak lain adalah R.

Oke, jadi ini adalah laju pertumbuhan kontinus kalau kita punya fungsi,

fungsi future value seperti ini, V sabaran A, E, R, T.

R itu pasti adalah, apa namanya, laju pertumbuhan kontinusnya.

Kita hitung secara langsung seperti ini, atau kita cari menggunakan rumus turunan lon, hasilnya tentu saja pasti sama.