Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas aplikasi fungsi transenden dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam model pertumbuhan populasi bakteri. Dalam model ini, pertumbuhan bakteri dijelaskan melalui persamaan diferensial yang mengaitkan pertumbuhan dengan populasi saat itu. Solusi dari persamaan ini menghasilkan model pertumbuhan eksponensial yang digunakan dalam berbagai bidang, namun perlu disesuaikan dengan batas populasi yang realistis. Dengan menambahkan suku baru pada model, kita dapat menghasilkan model pertumbuhan yang lebih akurat dengan memperhitungkan persaingan dan batasan populasi. Dalam matematika lebih lanjut, persamaan diferensial dapat digunakan untuk menjelaskan berbagai fenomena alam dan masalah fisika yang lebih kompleks.

Kita akan melihat sebuah aplikasi yang khusus dari exponential function, logarithma function, dan sebagainya dalam topik yang kali ini.

Misalkan kita punya di sebuah daerah ada bakteri yang hidup di dalam sebuah culture, di dalam sebuah lingkungan.

Banyaknya bakteri pada saat t itu dilambangkan dengan xt seperti itu.

Lalu kita tahu bahwa bakteri ini berkembang biak dengan kecepatan mu.

Artinya apa? Artinya pada saat t tertentu maka perubahan banyaknya bakteri terhadap waktu dengan tentunya kita tahu disini dx dt adalah mu seperti itu.

Tentu saja ini tidak bisa seperti ini saja sebab harusnya adalah apa?

Banyaknya bakteri yang dihasilkan itu selalu bergantung dari populasi pada saat itu.

Kalau saya punya 10 bakteri tentu offspringnya keturunannya akan jauh lebih banyak daripada kalau saya hanya punya 2 bakteri.

Jadi dalam hal ini kita katakan bahwa pertumbuhan dari bakteri tersebut dx dt haruslah proporsional dengan rate mu terhadap x tergantung dari x nya sendiri, xt seperti itu.

Nah kita mendapatkan sebuah hubungan yang mengaitkan antara sebuah fungsi dalam t, x, dan turunannya.

Dan ini yang dikenal dengan nama persamaan diferential.

Nah solusi dari persamaan diferential ini adalah sebuah fungsi yang memenuhi hubungan ini.

Dan bagaimana cara menghitung solusinya ini? Kita dapat melihat bahwa kita dapat memindahkan x ke sini sehingga kita dapatkan seper x dx dt harus sama dengan mu.

Dan kalau kita integralkan ini terhadap t mulai dari saat 0 sampai t tertentu maka kita bisa hitung integralnya ini dari 0 sampai t dt seperti itu.

Dan kalau kita hitung ini kita akan dapat ini adalah dx dt dt tentu hasilnya adalah dx seper x dx.

Integralnya kita sudah tahu tadi antiturunan dari 1 per x adalah logaritma dari x kalau x nya positif.

Kita anggap seperti itu kemudian ditambah dengan konstan tentu pada saat 0 dan t seperti itu.

Dan ini harus sama dengan mu dikali dengan t.

Dan dari sini kita dapatkan apa bahwa ini seharusnya adalah pada saat t sama dengan 0 kita akan dapatkan di sini populasi mula-mula yang ada pada saat itu harus berapa.

Tentunya gak boleh 0 kalau populasi di awal 0 ya tentunya offspring nya juga tetap 0 dikali mu.

Oleh karena itu kita harus punya x pada saat 0 ini yang disebut dengan kondisi awal yaitu berapa banyak bakteri yang ada pada saat itu.

Dan kalau kita substitusikan ke sini kita dapatkan hubungan len xt dikurangi dengan len x0 harus sama dengan mu t seperti itu.

Dan tentunya kita tahu bahwa ini dapat kita tulis sebagai len dari xt dibagi dengan x0 sama dengan mu t.

Sehingga dari sini kita dapatkan bahwa xt dibagi dengan x0 adalah e pangkat mu t atau saya dapatkan xt sama dengan x0 dikali e pangkat mu t.

Jadi di sini kita lihat kalau mu nya positif maka e pangkat mu t ini akan berkembang terus menuju ke tahinga.

Kalau t nya menuju ke tahinga dengan demikian bakteri akan berkembang terus dengan pesat tanpa batas.

Dan hukuman hukum ini yang kemudian dikenal dengan nama exponential growth pertumbuhan secara eksponensial.

Model ini digunakan di hampir banyak sekali model-model yang menjelaskan tentang pertumbuhan.

Nah pada kenyataannya kita hidup di dalam sebuah dunia yang berhingga yang selalu ada batas.

Maka bakteri pun juga tidak dapat bertumbuh dengan begitu cepatnya dia harus berhenti pada satu saat tertentu.

Nah di sini kita harus memperbaiki model ini karena model ini tidak lagi realistis dalam hal ini.

Nah bagaimana memperbaikinya kita dapat menambahkan suku lain yaitu dx dt disini harus sama dengan mu x.

Berarti dengan kata lain bahwa populasinya harus berkembang terus seperti itu dengan model seperti ini.

Namun kalau dia sudah mencapai sesuatu dia harus dia akan bersaing untuk mendapatkan makanan.

Bersaing dengan siapa? Dengan dirinya sendiri.

Jadi disini kita lihat bahwa dia akan kita kurangi dengan x kuadrat.

Dengan kata lain kalau banyaknya x itu bertambah besar maka akan terjadi persaingan ketat sehingga

menjadi memberikan batas untuk perkembangan dari mu t ini.

Bagaimana melihat batas ini? Kita dapat melihat dia sebagai mu x dikali dengan 1 min x.

Dengan demikian kurang lebih kira-kira disini adalah kita lihat bahwa kalau x nya itu ini t ini x.

Kalau x nya masih kecil maka x ini akan kecil maka ini satu kurang yang kecil akan tetap positif.

Kita akan punya ini positif kita akan punya model yang seperti ini maka bakteri saya akan berkembang.

Namun ketika x sudah mulai cukup besar mendekati suatu batas dalam kasus ini batasnya adalah 1

maka dia akan mulai besarnya akan jadi x nya membesar mendekati 1 ini akan jadi 0, sekian.

Sehingga dengan demikian mu nya dalam hal ini akan mengecil karena dikali dengan sesuatu yang kecil sekali.

Jadi dia akan berhenti kurang lebih kira-kira seperti itu.

Dan ini akan menjadi sebuah model yang lebih baik dan tentu kita ingin tahu bagaimana cara menyelesaikan persamaan seperti ini.

Untuk sejauh saat ini metode ini belum kita perkenalkan untuk menyelesaikannya tapi dari bentuk ininya saja

kita dapat memberikan gambaran tentang bagaimana perilaku dari banyaknya populasi dari bakteri pada saat t bergantung dari t.

Model ini digunakan dalam hampir banyak sekali masalah investasi kemudian juga masalah

tentu saja masalah ekologi pertambahan perkembangan suatu populasi di dalam suatu daerah tertentu

dan ada banyak sekali perkembangan-perkembangan yang dapat kita gunakan

banyak sekali fenomena-fenomena di alam ini yang dapat kita modelkan dengan menggunakan persamaan diferensial.

Dan kalau kita bisa melanjutkannya untuk persamaan diferensial yang order 2, order 3

maka akan lebih banyak lagi masalah-masalah di fisika yang dapat kita jelaskan dengan menggunakan persamaan diferensial ini.

Nah ini adalah salah satu aplikasi dari fungsi eksponensial yang kita definisikan tadi.