Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas tentang deret pangkat \( e^x \) yang merupakan deret konvergen untuk setiap nilai \( x \) di bilangan real. Deret ini membentuk deret geometri yang konvergen ke \( \frac{1}{1-x} \). Dengan menggunakan teknik turunan dan integral, ditemukan bahwa deret ini konvergen ke \( e^x \) untuk setiap nilai \( x \), di mana \( e^x \) dapat dituliskan sebagai \( e^x = e^k \) dengan \( k = 1 \). Sehingga uraian untuk deret ini adalah uraian untuk \( e^x \) untuk setiap nilai \( x \).

Sebagai contoh perhatikan deret berikut, kita punya sebuah deret yang dibentuk oleh 1 plus x plus x kuadrat dibagi 2 faktorial plus x pangkat 3 dikali 3 faktorial dan selanjutnya.

Kalau kita tuliskan dalam notasi sigma maka deret ini bisa kita tulis menjadi deret dari n dari 0 sampai tahingga dari x pangkat n dibagi dengan n faktorial.

Dengan mengingat bahwa 0 faktorial itu didefinisikan sebagai 1.

Nah kita sekarang mau memeriksa barisan ini convergen dimana.

Mari kita cek sekarang bahwa untuk memeriksa keconvergenannya kita periksa Rho rasionya.

Jadi dia adalah limit n menuju tahingga dari x mutlak x pangkat n plus 1 dibagi dengan n plus 1 faktorial.

Kemudian dibagi dengan suku ke n nya berarti n faktorial dibagi dengan mutlak x pangkat n.

Dan kalau kita coret ini, ini kita coret maka kita dapatkan limit ini harga mutlak x sudah tidak terlibat dengan n.

Jadi harga mutlak x nya bisa keluar saya punya di sini limit n menuju tahingga dari 1 per n plus 1.

Tetapi kalau n menuju tahingga maka limit ini 0 berarti saya punya di sini sama dengan 0.

Apa artinya? Artinya rasio dari barisan ini selalu lebih kecil dari 1 berapapun x nya.

Jadi dengan kata lain deret tersebut deret konvergen untuk setiap x di dalam bilangan real.

Sebuah deret yang sangat menarik karena dia akan konvergen tidak tergantung berapa x nya.

Nah menentukan keconvergenannya tentu kita dapat gunakan teknik-teknik yang sudah kita pelajari seperti itu.

Tetapi menentukan kemana barisan ini konvergen itu bukan pekerjaan yang mudah.

Kalau contoh yang pertama tadi kita punya 1 plus x plus x kwadrat plus x pangkat 3 plus dan seterusnya.

Ini dapat kita tulis menjadi 1 per 1 minus x.

Karena perhatikan x bagi 1 itu x, x kwadrat bagi x itu x juga, x pangkat 3 dibagi x kwadrat itu x juga.

Jadi ini tidak lain adalah deret geometri.

Kalau deret geometri dia akan konvergen kemana?

Ke suku pertama 1 dibagi dengan 1 kurang R.

Ini bagi ini x, ini bagi ini x, ini bagi ini x.

Jadi ini tidak lain adalah R tahinga yang biasa kita, oh sorry.

U tahinga yang biasa kita kenal sebagai limit dari barisan geometri.

Karena deret tersebut membentuk deret geometri.

Untuk barisan yang seperti ini enggak ada sebuah teknik yang standar untuk kita bisa menemukan kemana dia konvergen.

Tetapi deret ini punya kekhususan sehingga kita bisa mencoba menghitung limitnya.

Nah misalkan limitnya ada, bisa saya tulis seperti ini.

Nah tentu ada teori di belakangnya ini harus benar untuk x, seluruh x bila ngadril.

Dan kita akan bertanya nanti, kita akan menjelaskan nanti mengapa ini boleh dilakukan.

Tetapi perhatikan kalau saya punya seperti ini saya bisa mencoba menghitung f aksen x.

Anggeplah saya boleh melakukannya terlebih dahulu.

Jadi bagaimana menghitung turunan dari f aksen x?

Ya turunannya adalah dengan menghitung turunan dari suku-sukunya.

Perhatikan 1 ketika kita turunkan hasilnya 0.

Kemudian x kuadrat per 2 faktorial kalau kita turunkan x.

X pangkat 3 per 3 faktorial kalau kita turunkan hasilnya adalah x kuadrat per 2 faktorial.

Bahwa fx tersebut, f yang merupakan limit dari deret ini.

Jika kita turunkan hasilnya adalah dirinya sendiri fx.

Jadi saya seperti sedang melihat kalau sekarang saya gunakan notasi Leibniz untuk turunan.

Saya sedang berhadapan dengan df dx dikali dengan 1 per fx.

Dan ini dapat saya integralkan terhadap x.

Maka saya punya diintegralkan terhadap x.

Perhatikan berdasarkan aturan difrensial df dx kali dx itu menjadi df.

Berarti ini adalah integral dari 1 per f df.

Jadi saya dapatkan dari sini integral di sana adalah logaritma natural dari fx.

Berarti fx nya adalah e pangkat x tambah konstan.

Sama dengan e pangkat x dikali e pangkat konstan.

Yang paling mudah adalah dengan menghitung f0.

Lalu kita cek kalau ini fx, kalau x nya 0 maka ini semua hilang.

Berarti di sini k nya harus sama dengan 1.

Dengan demikian kita tahu bahwa kalau begitu maka deret ini akan konvergen ke e pangkat x.

Dan e pangkat x ini adalah urayan untuk deret ini adalah urayan untuk e pangkat x.

Untuk x yang manapun e pangkat x selalu dapat dituliskan menjadi bentuk seperti ini.