Prof. Dra. Kiki Ariyanti Sugeng, M.Si., Ph.D.

Video ini membahas tentang sifat refleksi dalam relasi matematika diskrit. Sebuah relasi disebut refleksif jika setiap elemen dalam himpunan memiliki pasangan dengan dirinya sendiri dalam relasi tersebut. Contoh relasi refleksif adalah ketika setiap elemen dalam himpunan memiliki pasangan dengan dirinya sendiri. Namun, jika ada elemen yang tidak memiliki pasangan dengan dirinya sendiri, maka relasi tersebut tidak refleksif. Dalam contoh-contoh yang diberikan, terlihat bagaimana suatu relasi bisa refleksif atau tidak, tergantung pada keberadaan pasangan elemen dengan dirinya sendiri. Jadi, refleksifitas suatu relasi dapat diamati dengan memeriksa apakah setiap elemen dalam himpunan memiliki pasangan dengan dirinya sendiri.

Relasi itu punya sifat. Sifat yang pertama adalah kita sebut sebagai sifat refleksif.

Apa yang disebut refleksif di sini? Jadi relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika A,A itu ada di R.

Dan itu harus untuk setiap elemen A anggota A.

Jadi A,A itu harus ada untuk setiap elemen A di himpunan A sendiri.

Kita lihat contohnya, misalnya A itu adalah 1,2,3.

Kalau R1 itu misalnya isinya adalah 1,1,1,2,2,1,2,2,3,4,4,1,4,4.

Kita lihat A kecilnya atau elemen dari A itu 1,2,3,4.

Kita mesti periksa apakah di dalam relasi itu ada 1,1,2,2,3,3,4,4.

Kalau di R1 kita ini kita punya 1,1, kita punya 2,2, kita punya 4,4 tapi 3,3 itu tidak ada.

Sehingga kita tidak bisa mengatakan bahwa R1 itu refleksif.

Misalnya contoh di sini himpunannya adalah 1,1,1,2,1,4,2,1,2,2,3,3,4,1,4,4.

Dan kita lihat di sini 1,1 masuk, 2,2 masuk, 3,3 masuk, 4,4 masuk.

Berarti relasi ini adalah relasi yang refleksif.

Kalau R misalnya isinya cuma 3,4 berarti dia tidak refleksif karena 1,1 tidak ada, 2,2 tidak ada, 3,3 tidak ada, 4,4 tidak ada, bahkan tidak ada 1 pun yang masuk di situ.

Jadi di sini kita bisa melihat bagaimana contoh suatu relasi itu bersifat refleksif.

Jadi ingat ya, refleksif itu A,A harus masuk di dalam himpunannya atau dalam anggota relasi dan harus berlaku untuk setiap A.

Kalau tadi kita melihatnya kan gampang ya, ada angkanya ya.

Jadi kita bisa melihat 1,1 masuk tidak, 2,2 masuk tidak, 3,3 masuk tidak, 4,4 masuk tidak.

Kalau sekarang relasinya bentuknya kayak contoh yang sebelumnya, jadi itu adalah himpunan AB di mana A lebih kecil sama dengan B, itu gimana? Refleksif atau tidak?

Kita lihat di sini, karena A lebih kecil sama dengan B, itu artinya A lebih kecil sama dengan A sendiri.

Artinya kita bisa mengambil B sama dengan A.

Jadi kalau B sama dengan A, maka A boleh kita tulis lebih kecil sama dengan A.

Sehingga semua A,A itu ada di dalam himpunan relasi ini.

Ini misalnya contoh pertama, jadi relasi yang pertama.

Sehingga contoh yang pertama ini merupakan contoh dari relasi yang refleksif.

Kalau yang contoh kedua, relasinya adalah A lebih besar B.

Itu bukan refleksif karena tidak ada satu pun pasangan yang sama, A,A yang masuk di dalam himpunan.

A lebih besar B, jadi tidak mungkin A lebih besar dari A sendiri.

Sekarang, relasi yang lain yaitu relasi membagi pada himpunan bilangan bulat.

Kita harus melihat, apakah A itu membagi dirinya sendiri?

Kalau A di sini adalah suatu bilangan bulat.

Jadi kita tahu bahwa dari definisi membagi, A dikatakan membagi B.

Kalau kita punya suatu bilangan bulat K, di mana B sama dengan K kali A.

Kalau A itu membagi dirinya sendiri tidak?

Karena kita bisa mendapatkan K dalam hal ini, Knya 1.

Sehingga A bisa dituliskan sebagai 1 kali A.

Jadi sesuai dengan definisinya, A membagi dirinya sendiri.

Sehingga relasi membagi dalam hal ini untuk himpunan bilangan bulat itu bersifat refleksif.

Tapi kalau di sini kita ambil himpunannya semua bilangan bulat yang tidak hanya yang positif,

Sehingga gara-gara satu elemen 0 ini, maka si bilangan bulat itu semuanya mengakibatkan relasi membagi itu menjadi tidak refleksif.

Jadi kalau kita membatasi hanya himpunan bilangan positif, oke.

Hanya bilangan bulat yang dikurangi 0 itu oke.

Tapi kalau bilangan bulat keseluruhannya tidak memenuhi persyaratan karena 0 tidak membagi 0.