Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa dengan menggunakan First Shifting Theorem dalam Transformasi Laplace. Dengan penyelesaian yang rumit, penyebut yang tidak bulat dapat difaktorkan untuk mendapatkan solusi umumnya. Melalui manipulasi yang tepat, transformasi Laplace inverse ditemukan dengan bentuk yang sesuai dengan tabel transformasi inverse Laplace. Dengan pendekatan yang cermat, solusi akhir dinyatakan dalam bentuk yang melibatkan fungsi trigonometri, yaitu cosinus dan sinus. Solusi unik dari persamaan diferensial ini akhirnya ditemukan dengan mempertimbangkan syarat awal yang diberikan.

Oke, sebagai contoh bagaimana teorema pergeseran pertama ini atau first shifting teorem ini bisa kita gunakan,

coba kita tinjau bersama differential biasa yang homogene seperti ini, order 2, dengan syarat awal sebagai berikut.

Kalau kita transformasi Laplastian kedua ruasnya,

seperti biasa kita akan dapatkan, disini akan ada P kuadrat Y,

langsung kita masukkan angka-angkanya, angka disini akan ada minus 0,16 P plus P Y gitu ya,

disini ada turunan order pertama, minus 0,16 plus 9 Y sama dengan 0.

Oke, ini bisa kita kumpulkan yang mengandung Y di satu ruas, P kuadrat plus P plus 9 mengalikan Y,

sedangkan yang tidak mengandung Y saya taruh di ruas kanan.

Berarti ini ada 0,16 P plus 1 atau dalam kata lain,

maka saya punya fungsi Y sebagai fungsi P, ini adalah 0,16 kali P plus 1 P kuadrat plus P plus 9.

Nah, saya bisa faktorkan penyebutnya ini, agak rumit, agak panjang karena angka-angka pefaktorannya tidak bulat.

Pertama, kalau saya bikin, oke disini dulu ya, ini adalah P plus kalau saya bikin ini setengah kuadrat,

maka agar bisa persis sama dengan penyebut di ruas kiri, ini harus saya kompensasi dengan 35 per 4.

Oke, nah sekarang karena penyebutnya ini mengandung P plus setengah, saya juga akan membuat pembilangnya ini mengandung P plus setengah.

Nah, berarti agar bisa sama saya butuh tambahkan di sini dengan 0,08.

Oke, jadi kalau kita lihat ini kalau kita samakan hasilnya sama ya.

Nah, maka saya ingin mencari transformasi Laplas inverse dari ini.

Kita bisa saja langsung menggunakan tabel ya, mungkin kita harus sedikit memanipulasi,

agak rumit agar bisa kita lihat tabel bagian mana yang persis sama padanan transformasi inverse Laplas dengan bentuk ini.

kalau saya mau melihat sedikit dengan adanya keberadaan P plus setengah ini,

P plus setengah ini mensyaratkan ada shifting dari P ke P plus setengah.

kalau saya punya transformasi dari E pangkat AX mengalirkan YX, hasilnya Y dari P minus A,

hasilnya Y dari P minus A, jadi A di sini adalah minus setengah ya,

Jadi dengan kata lain, kalau saya balik logikanya,

Y sebagai fungsi T, itu berarti saya punya E pangkat min T per 2.

Saya bisa menuliskan berarti ada 0,16 transformasi inverse dari,

kalau saya definisikan P plus setengah ini sebagai U,

katakanlah ya, maka ini adalah U per U kuadrat plus 35 per 4,

ditambah 0,08 per U kuadrat plus 35 per 4.

Ini lebih mudah karena kalau kita tidak perhatikan kerumitan angkanya,

tapi di sini bentuknya adalah transformasi inverse yang menghasilkan fungsi cosines,

Jadi kalau saya tuliskan hasil solusi umumnya adalah,

ini angka numeriknya yang membuat sedikit rumit,

tapi kita bisa lihat bahwa seperti itu ya.

Plus 0,08 dibagi, ini ada akar 35 per 4 atau saya keluarkan seperempatnya jadi setengah,

Inilah solusi unik dari persamaan di credential ini,