Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas persamaan diferensial biasa orde 2, khususnya PDB Euler-Cauchy dalam konteks non-homogen. Untuk mencari solusinya, digunakan substitusi eksponensial Z untuk menggantikan variabel bebas X. Dengan teknik ini, turunan terhadap X diekspresikan sebagai turunan terhadap Z. Melalui substitusi yang tepat, persamaan Euler-Cauchy non-homogen dapat disederhanakan menjadi persamaan linier orde 2 dengan koefisien konstan, memungkinkan penyelesaian menggunakan metode yang telah dipelajari sebelumnya.

Ketika kita membahas kasus PDB order 2 yang homogen, kita menemui satu persamaan diferensial yang kita namakan persamaan diferensial biasa Euler-Cauchy

dimana bentuknya sangat spesifik dan kita sudah bisa mencari solusinya dengan ansatz.

Seperti yang terlihat pada papan tulis, ruas kiri adalah bentuk PDB Euler-Cauchy.

Pada kasus homogen maka fungsi G nya 0 dan pada kasus itu kita tahu bahwa solusinya dapat diambil sebagai ansatz polinom terhadap X

dengan M adalah order polinomnya dan ketika kita masukkan kembali ansatz tersebut ke dalam persamaan diferensial Cauchy ini

maka kita dapatkan persamaan kuadrat yang harus dipenuhi oleh M.

Kita bisa mencari akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut dan akar-akar tersebutlah yang menjadi order dari pangkat X nya.

Nah sekarang ketika kita bertemu dengan PDB Euler-Cauchy yang non-homogen bagaimana mencari solusinya.

Nampaknya kalau kita substitusi bentuk ini langsung akan bermasalah karena kita tidak tahu fungsi G nya.

Fungsi G nya bisa jadi polinom bisa juga bukan.

Jadi untuk itu maka kita mencoba cara yang lebih formal.

Kalau anda ingat ketika kita membahas kasus yang homogen pada kasus akar-akar yang kompleks saya melakukan substitusi sebagai berikut.

Dimana saya mengganti variable bebas X ini sebagai eksponensial Z.

Saya menggeser variable bebas dari X ke Z.

Saya akan menggunakan substitusi ini juga dalam teknik yang akan kita bahas.

Kalau saya punya X sebagai eksponensial Z maka Z adalah non-X.

Jadi saya ingin mengganti kebergantungan terhadap X pada persamaan ini menjadi kebergantungan terhadap Z.

Kita perlu mencari bagaimana juga turunan terhadap X dinyatakan sebagai turunan terhadap Z.

Jadi disini saya akan mencari Y aksen, Y aksen itu adalah dy dx.

Kita bisa gunakan aturan rantai dy dx ini dapat kita tulis sebagai dz dx dy dz.

Jadi saya menyatakan turunan Y bukan lagi terhadap X tapi terhadap Z.

Disini ada koefisien dz dx. Apa itu dz dx?

Kita bisa cari dari sini dengan mudah kita bisa lihat kalau Z adalah non-X maka dz dx adalah seper X dy dz.

Saya bisa kalikan kedua ruas dengan X maka saya bisa menyatakan ruas kirinya sebagai X dikali Y aksen

Maka disini saya bisa mensubstitusi X, Y aksen ini ke dalam suku kedua di ruas kiri.

Sekarang kita perlu mencari apa substitusi bagi suku pertama di ruas kiri

atau dengkat lain apa substitusi bagi suku yang mengandung turunan order 2.

Nanti kita turunkan sekali lagi, by definition Y double aksen itu adalah turunan terhadap X dari Y aksen.

Kita sudah punya Y aksen di sini, saya bisa nyatakan juga d per dx ini dengan aturan rantai menjadi dz dx.

Terus saya langsung masukkan saja Y aksennya, Y aksennya adalah seper X dikali dy dz.

Tapi karena saya menurunkan terhadap Z maka saya harus menyatakan semuanya sebagai fungsi Z.

Di sini ada seper X maka saya harus mengganti seper X menjadi fungsi Z.

Kalau saya punya X adalah e pangkat Z maka seper X atau X pangkat minus 1 berarti adalah e pangkat minus Z.

Jadi saya masukkan semua ke dalam turunan terhadap Z ini, saya punya e pangkat minus Z dikali dy dz.

Oke, ini bisa kita kerjakan, dz per dx ini kembali memberikan kita seper X.

Sedangkan kita bisa mengerjakan turunan dari perkalian 2 buah fungsi ini.

Kalau kita turunkan e pangkat minus Z terhadap Z saya mengeluarkan minus dan e pangkat minus Z lagi.

Lalu turunan terhadap dy dz, turunan terhadap Z maka ini menjadi turunan kedua, d kwadrat Y dz kwadrat.

Saya bisa mengembalikan kembali e pangkat minus Z ke dalam sebagai X, kalau e pangkat Z adalah X maka e pangkat minus Z adalah ini daripada seper X.

Jadi di ruas kanan saya punya seper X dikalikan dengan seper X lagi, saya punya seper X kwadrat mengalikan saya punya d kwadrat Y dz kwadrat minus dy dz.

Sekarang berarti saya bisa menyatakan kalau saya kalikan kedua ruasnya dengan X kwadrat maka disini saya punya X kwadrat Y double aksen.

Tidak ada lain daripada ini dan ini bisa kita langsung substitusi ke suku pertama.

Jadi saya sudah punya substitusi untuk suku pertama dan suku kedua di ruas kiri.

Kalau langsung kita substitusikan maka saya punya d kwadrat Y dz kwadrat minus dy dz plus a disini ada a dikali dengan X,

a dikali dengan X di aksen sudah kita tuliskan seperti ini saja dy dz plus b dikali Y ini sama dengan G yang merupakan fungsi e pangkat Z.

Kita bisa sederhanakan, kita bisa rapikan.

Ini bisa kita gabungkan dua suku ini a minus 1 dy dz plus b Y.

Kita lihat dengan substitusi tersebut kita mengubah PDB Euler-Cauchy yang awalnya itu tidak berkoeficien konstan menjadi PDB order 2 linier dengan koeficien konstan.

Dan dalam bentuk seperti ini kita bisa menyelesaikan PDB ini dengan metode-metode yang sudah kita pelajari ketika kita mempelajari solusi PDB dengan koeficien konstan.