Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas faktorisasi LU dalam konteks analisis numerik, khususnya pada sistem persamaan linear. Konsep eliminasi Gauss digunakan untuk mengubah matriks A menjadi bentuk segitiga atas U. Proses faktorisasi melibatkan matriks transformasi Gauss, M1, yang mengenolkan kolom pertama matriks A. Selanjutnya, ditemukan matriks M2 yang bekerja pada baris ketiga untuk menghasilkan U. Inverse dari matriks Gauss memiliki kekhasan bahwa inversenya sama dengan dirinya sendiri dengan tanda di bawah diagonal diubah. Dengan faktorisasi LU, matriks A dapat dipecah menjadi hasil perkalian matriks segitiga bawah L dan segitiga atas U. Proses ini memungkinkan penyelesaian sistem persamaan linear AX = B tanpa harus memproses B terlebih dahulu. Metode ini tetap efisien dengan kompleksitas waktu yang tidak melebihi metode eliminasi Gauss.

Mari kita lihat kembali proses eliminasi gauss yang tadinya sudah berhasil membawa matriks A menjadi U gitu ya.

Saya ingin mengilustrasikan dengan matriks saya tadi, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 gitu ya.

Oke, langkah pertama itu adalah pengenolan dari kolom pertama, 1, 0, 0 gitu.

Dan ini tentu saja 4, 7, dan ini adalah tadi minus 3, minus 6, minus 6, minus 11.

Nah, kita ingin tahu sebetulnya apa yang terjadi yang membawa matriks A menjadi ini.

Ini akan saya namakan katakanlah A1 ya, karena baru tahap pertama kita sebut ini.

Ternyata ada matriks transformasi yang disebut matriks transformasi gauss,

yang apabila saya kalikan dengan A, itu akan bentuknya seperti ini.

Jadi, ada matriks M1, ini disebut dengan matriks gauss.

Sedemikian, sehingga M1 kali A itu akan sama dengan A1.

Jadi, mengenolkan dua elemen ini pada kolom pertama, itu kerjaan dari M1.

Nah, pertanyaannya, gimana kira-kira bentuk dari M1?

Nanti akan saya tunjukkan secara matematis rumus dari M1, cuman ternyata M1 itu adalah ini.

Perhatikan bahwa kolom pertama tidak berubah, berarti dia pasti 1, sorry, baris pertama tidak berubah,

Kalau saya kalikan dengan M1 kali A, jadi M1 nya mestinya ini,

baris pertama tidak berubah, berarti ini adalah 1 0 0.

Nah, ini akan menjadi pengalih untuk kolom pertama, baris pertama.

Nah, baris kedua, perhatikan bahwa di baris kedua itu terjadi minus 2 kali baris pertama ditambah dengan baris kedua.

Tadi kan saya katakan bahwa 2 dikurangi 2 di sini, berarti minus 2 kali baris pertama, berarti di sini ada min 2.

Dikalikan dengan 1 kali baris pertama, berarti 1.

Oke, dan ini tidak berkaitan dengan baris ketiga, pada saat saya mengeliminasi 2,

baris ketiga tidak sama sekali berkontribusi, jadi di sini pasti 0, di sini adalah minus 2,

di sini adalah 1, karena dia adalah dirinya sendiri, dikurang 2 kali yang di atas.

Sementara untuk mengenolkan ini adalah 3 dikurangi 3 kali ini, berarti kan minus 3 kalikan dengan baris pertama,

baris kedua tidak terlibat, berarti ini adalah 0, dan baris ketiga adalah 1 kali.

Berarti ini adalah M1 yang akan mengenolkan posisi ini.

Nah, perhatikan bahwa M1 ini memuat minus dari rasio-rasio tadi, 2 dibagi 1, 2 berarti minus 2,

Ini yang kita sebut dengan matriks gauss untuk membawa MA menjadi A1, ini oleh M1 dia dibawa ke sini.

Kalau mau diuji silakan, coba sekarang dikalikan, kalau bagaimana dengan M1 dikalikan A,

maka pasti Anda akan dapatkan, coba 1 0 0 kalikan 1 2 3, maka 1,

1 0 0 kalikan dengan 7 8 9 7, benar, baris pertama tidak berubah.

Sekarang, minus 2 kali 1 ditambah dengan 2 0, benar, minus 2 kali 4 ditambahkan 5 minus 3, benar, dan seterusnya.

Jadi kita akan dapatkan, benar ini akan sama dengan A1.

Nah sekarang, saya bisa menemukan, jadi sekarang ada matriks yang disebut dengan M2,

sedemikian sehingga, kalau saya kalikan M2 dikalikan dengan A1,

jadi kalikan dengan ini, M2 nya bekerja di sini, itu akan sama dengan U.

Jadi kenapa, karena setelah ini selesai saya nolkan, dia sudah jadi U.

Tapi karena A1 itu adalah M1 kali A, ini sama saja dengan mengatakan,

kalau demikian, untuk mendapatkan U, saya membutuhkan M2 M1 kalikan A, dan ini adalah sama dengan U.

Perhatikan bahwa, M2 itu sama sekali tidak mengubah baris pertama dan kolom pertama.

Jadi baris pertama dan kolom pertama sudah selesai, jadi saya bekerja di sini.

Nah selanjutnya, coba perhatikan bahwa, baris kedua tidak berubah, tetap ini.

Jadi U nya kita tadi, setelah ada M2, masih ingat tadi, kita akan menghasilkan U yang berupa 1, 4, 7, 0,

Ini hasil akhir tadi kan, jadi min 3, min 6 tidak berubah, berarti ini juga adalah 1, 0.

Jadi baris pertama tidak berubah, baris kedua tidak berubah, yang berubah hanya baris ketiga.

Baris ketiga itu isinya adalah, baris kedua dikalikan dengan minus 2, baris ketiga dikalikan dengan 1.

Inilah adalah M2 yang akan mengenolkan posisi 6, A minus 6, agar hasilnya dari A1 menjadi U.

Jadi secara keseluruhan, kita bisa tunjukkan sekarang bahwa M2 dikalikan dengan A1 itu akan sama dengan U.

Kenapa? Tadi min 2 kalikan min 3, 6, kemudian 1 kali min 6 adalah min 6, 6 dengan min 6, 0, benar.

Min 2 kali min 6 adalah min 12, 1 kali min 11 adalah min 11, berarti min 11 dikurang min 12 dapatnya 1, benar.

Dapat 1 disini, jadi 0 dan 1 kita peroleh.

Baik, nah sekarang apa yang terjadi, coba perhatikan M2 kali M1 kali A sama dengan U.

Berarti A itu kan sama dengan M2 kali M1 inverse kalikan dengan U, secara matematis.

Karena M2 kali M1 kali A sama dengan U, maka A sama dengan M2 M1 inverse kalikan dengan U.

Dan kita tahu dengan aturan dari inverse berkalian, ini akan sama dengan M1 inverse kalikan dengan M2 inverse kalikan dengan U.

Nah, M itu perhatikan semuanya matriks segitiga, M1 kayak gini, M2 kayak gini, inversenya itu pasti segitiga bawah.

Jadi M1 segitiga bawah, M2 segitiga bawah, maka M inverse dari M1 segitiga bawah, inverse dari M2 segitiga bawah.

Perkalian antara dua segitiga bawah itu pasti segitiga bawah, sehingga ini pasti akan berbentuk L segitiga bawah kalikan dengan U.

Nah, mengingat matriks M itu elemen diagonalnya semuanya satu,

elemen di bawah diagonalnya sama dengan rasio tadi, jadi rasio-rasio tadi akan menjadi elemen di bawah diagonalnya,

maka perkalian dari M2 M1 dan sebagainya, sebentar, inversenya dari M1 itu akan tetap segitiga bawah dan elemen diagonalnya akan tetap satu semua.

Karena bisa dikaitkan dengan determinannya harus selalu sama dengan satu kan, sehingga matriks L kita ini pasti juga matriks segitiga bawah dengan elemen diagonal satu semua.

Nah, satu lagi fakta menarik adalah bahwa inverse dari M1, jadi kalau saya tulis di sini, M1 inverse ternyata sama dengan ini.

Satu, dua, tiga, nol, satu, nol, nol, nol, satu, apa yang berubah?

Hanya tandanya, tadi nyamin dua jadi dua, yang tiga jadi tiga, coba kita kalikan, ini kali ini, satu kali ini, satu.

Jadi, M1 kali M1 inverse sama dengan satu demi satu, kita dapat ini satu, karena ini dikalikan dengan ini, satu kan?

Kemudian ini kali ini, itu akan sama dengan nol, karena tidak ada elemen keduanya, di sini kan satu hanya pada elemen kedua,

berarti nol, kemudian ini dikalikan ini juga akan nol.

Sekarang ini dikalikan ini, coba, min dua kali satu, min dua, satu kali dua, nol.

Oke, kemudian ini dikalikan ini, yang seletak cuma satu dengan satu, yang lainnya nol, berarti satu.

Ini nol, karena tidak ada di sini, nol, nol, satu kan, posisi tidak nolnya itu di satu dan dua, satu dan dua, nol semua, berarti nol.

Sekarang yang terakhir, ini dikalikan dengan ini, coba, min tiga kali satu, min tiga, nol kali dua, satu kali tiga, oh ini nol.

Kemudian, ini dikalikan ini, berarti kan satu-satunya yang tidak nol adalah di sini, padahal posisinya nol di sini, berarti ini akan nol.

Terakhir, ini dikalikan ini, satu, benar, hasilnya adalah identitas.

Kalau dikalikan adalah identitas, berarti benar dia inverse, jadi ini adalah keutamaan ataupun kekhasan dari matrik gauss,

inverse-nya itu adalah sama dengan dirinya sendiri tadi, tapi di flip tandanya, yang dibawah diagonal tadinya minus jadi plus,

itu aja sebagai rumus umum untuk inverse.

Dari sini kita bisa kembangkan bahwa secara umum matrik gauss itu, jadi secara umum,

matrik gauss kekha yang disebut dengan mk itu bentuknya adalah matrik identitas dibagi dengan kita punya m tadi,

ini adalah kolom kekha dari matrik identitas, yang namanya E k transpose.

Dimana m itu adalah matrik rasio atau vektor rasio, jadi m itu sama dengan 0, 0, 0, 0, kemudian mk plus 1 sampai dengan mn dan ini adalah rasio-rasio tadi.

Oke, yang rasio yang kita hitung pada saat eliminasi gauss yang tadi juga kita namakan m, tapi m tadi adalah skalar,

sekarang m ini kita jadikan sebagai vektor, mungkin untuk membedakan saya kasih bawah jadi garis bawah,

jadi m garis bawah itu adalah vektor yang isinya adalah rasio-rasio tadi.

Tapi, pada saat bicara tentang yang kekha, maka didalui oleh k buah 0 di depannya,

jadi perhatikan tadi yang untuk m1, ini mulai dari sini dia, min 2 dan min 3,

jadi tidak 2 dan 3, tidak dari atas, atasnya akan 0,

karena 1 nya tidak di update, apa-apa kan, i dikurang ini, ini hanya akan meng-update yang di bawah diagonal saja.

Oke, nah dari sini sekarang kita dapatkan rumus umum untuk inverse dari mk adalah sebagai berikut.

Jadi, karena mk nya seperti itu, maka mk inverse itu tinggal di flip tandanya saja, kalau tadi minus sekarang jadi plus.