Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas integral tak wajar yang menyamar menjadi integral wajar pada fungsi 1 per x kuadrat. Meskipun integral terlihat normal, namun karena singularitas fungsi di dalam daerah integrasi, integral harus dibagi menjadi dua integral tak wajar dari 0 ke 1 dan dari 1 ke 0. Hal ini penting karena fungsi tersebut memiliki singularitas di dalam daerah integrasi, menyebabkan integral tak wajar yang seharusnya divergen. Oleh karena itu, hasil integral biasa akan tidak konsisten dalam kasus ini.

Yang akan kita hitung sekarang adalah integral dari min 1 sampai 1 dari fungsi 1 per x kuadrat dx seperti itu.

Dan integral ini terlihat seperti baik-baik saja, nggak ada permasalahan apapun yang menakutkan di sini.

Jadi kita bisa hitung integralnya adalah min 1 per x kemudian batasnya dari min 1 sampai 1.

1 per x kuadrat tidak singular di min 1 maupun juga di 1.

Dengan demikian kalau kita substitusikan ini hasilnya adalah min 2.

Karena kita tahu bahwa 1 per x kuadrat itu positif.

Dan kita tahu integral dari sesuatu sampai sesuatu dari fungsi yang selalu positif itu menyatakan luas.

Oleh karena itu mana mungkin hasilnya adalah sesuatu yang negatif.

Jadi ada sesuatu yang sangat salah di sini sehingga kita bisa mendapatkan hasil ini.

Well kalau kita lihat fungsi 1 per x kuadrat grafik dari fungsi 1 per x kuadrat itu adalah seperti ini.

Tentu gambar saya buruk seharusnya ini simetris.

Jadi kita menghitung integral dari min 1 sampai 1.

Dari gambar saja kita sudah bisa lihat bahwa ini tidak mungkin nilainya sama dengan min 2.

Karena luasan ini baik-baik saja semuanya.

Normal terlihat seperti sesuatu yang seharusnya bernilai positif.

Jadi nggak mungkin bisa benar seperti ini.

Tetapi kita lihat di sini ada permasalahan besar yaitu apa?

Bahwa fungsi 1 per x kuadrat itu singular di x sama dengan 0.

Dia menuju ke tahinga pada saat x sama dengan 0.

Inilah yang menyebabkan terjadinya kekacauan dunia persilatan seperti ini.

Karena di tengah-tengah batas integrasi, di daerah integrasi ini kita memiliki sebuah singularitas.

Sebabnya kita harus menuliskan integral ini sebagai 2 buah integral dari 0 sampai...

dari min 1 sampai 0 dari 1 per x kuadrat dx.

Kemudian ditambahkan integral dari 0 sampai 1 per x kuadrat dx.

Kelihatannya seperti innocent, seperti nggak ada bedanya ini sama ini.

Tetapi ini sesuatu yang sangat fundamentally different.

Karena ini dan ini adalah integral tak wajar.

Sedangkan di sini integral tidak wajarnya tidak muncul, tidak terlihat.

Jadi ketika fungsi tersebut mempunyai singularitas di dalam daerah integrasinya...

tidak harus pada batas-batasnya saja, tetapi di dalam daerah integrasinya...

maka kita sedang berhadapan dengan integral tak wajar...

yang menyamar menjadi integral wajar seperti itu.

Karena 0 adalah sumber ketidakwajarannya.

Nah, kalau kita sudah punya terpecah berdua menjadi seperti ini...

maka integral ini hanya bisa ada kalau masing-masing integral tak wajar ini ada.

Nah, kita sudah periksa tadi bahwa integral ini itu divergen.

Nah, karena dia divergen berarti seluruh integral ini divergen.

Dan itu sebabnya kenapa ketika kita menghitung dengan hasil yang biasa...

Sebab sebenarnya integral ini nilainya tidak ada.