Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 dengan coeffisien non-constant, yang dikenal sebagai PDB Euler-Cauchy. Euler dan Cauchy menyarankan penggunaan ansatz konsanta dikali polinom X pangkat M untuk mencari solusi, yang mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar dalam M. Solusi umumnya tergantung pada akar-akar dari persamaan kuadrat yang melibatkan coeffisien A dan B, dengan kemungkinan solusi berbeda tergantung pada diskriminan persamaan tersebut. Jika akar-akar kompleks, solusi umumnya dapat ditulis sebagai fungsi polinom dari X.

Setelah kita membahas beberapa klasifikasi dan juga contoh dari solusi PDB order dual linear dengan coeffisien constant

maka di kesempatan kali ini saya akan menyinggung sedikit PDB order dual linear

tapi dengan coeffisien yang tidak constant melainkan mengambil satu bentuk yang spesifik.

Seperti yang saya katakan di awal bahwa PDB order dual linear pun itu tidak ada solusi umumnya

karena solusinya akan bergantung pada bentuk spesifik dari coeffisien-coeffisien pengali

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas satu PDB order dua yang non constant

yang cukup populer orang menamakan PDB ini PDB Euler-Cauchy

atau PDB Euler kadang Euler saja atau Euler-Cauchy

Euler-Cauchy ini mereka adalah dua matematikawan yang memang mengelaborasi

dan mencari solusi dari persamaan differential ini.

Bentuknya cukup spesifik dan cukup menarik sehingga memungkinkan didapat solusi yang umum.

Kalau kita perhatikan bentuknya adalah coeffisien yang mengalinkan Y double aksen

Coeffisien yang mengalinkan Y aksen itu tidak constant melainkan suatu konsanta,

konsanta A dikali X pangkat 1 dan coeffisien yang mengalinkan turunan Y ke 0

atau fungsi Y saja itu hanyalah B konsanta.

Euler dan Cauchy menyarankan untuk mencari solusi dari PDB ini

dia menyalankan bahwa untuk mengambil ansatz, ansatz itu artinya solusi coba-coba,

kita cek apakah ansatznya nanti memenuhi atau tidak,

kalau tidak memenuhi maka kita ganti ansatz yang lain.

Disarankan kita mengambil bentuk solusinya itu adalah suatu konsanta

dikali polinom terhadap X, katakanlah X pangkat M.

M ini suatu eksponen dari X yang constant dan M ini akan kita tentukan.

Oke kalau kita ambil bentuk ansatznya seperti ini maka kita bisa cari Y aksennya,

Demikian pula Y double aksennya ini adalah A dikali M dikali M-1 dikali X pangkat M-2.

kalau kita masukkan Y double aksen, Y aksen dan Y ke dalam persamaan tersebut,

kita bisa keluarkan A-nya karena semuanya mengalikan A.

Kita punya X pangkat M-2 tapi itu mengalikan X kuadrat,

Di suku kedua saya punya M saja mengalikan X pangkat M-1 tapi itu dikalikan dengan X pangkat 1.

Mohon maaf di sini ada A-nya, ada A kecil dikali M dikali X pangkat M-1 dikali X pangkat 1

sehingga itu meng-cancel M-1 jadi X pangkat M.

Nah dari sini kita bisa melihat kenapa Euler dan Cauchy menyarankan mengambil bentuk ansat solusi seperti ini,

karena nature dari persamaan diferentialnya itu bahwa suku yang mengalikan diferential order 2 itu adalah X kuadrat,

suku yang mengalikan diferential order 1 adalah X pangkat 1,

dan suku yang mengalikan diferential order 0 atau tidak ada turunan di sini adalah X pangkat 0.

Jadi kalau kita ambil X pangkat M maka masing-masing sukunya akan menyumbangkan X pangkat M kembali.

Dengan kata lain dengan mengambil ansat seperti ini,

maka Euler dan Cauchy mereduksi persamaan diferential di atas menjadi sekedar persamaan aljabar dalam M.

Ini tentunya sangat mensimplifikasi masalah, sangat menyerahkan masalah yang kita temui.

Persamaan diferential ini disimplifikasi menjadi persamaan aljabar saja, ini tentu saja sangat menguntungkan.

Jadi sekarang kita lihat bahwa ruas kiri ini akan 0 kalau 3 kemungkinan terpenuhi.

A nya 0, X pangkat M nya 0, atau dalam kurung siku ini 0.

Pilihan pertama dan pilihan ketiga tidak mungkin.

Jadi satu-satunya pilihan adalah pilihan kedua yaitu dalam kurung sikunya adalah 0.

Jadi sekarang kita punya persamaan kuadrat dalam M.

M kuadrat plus A minus 1 dikali M plus B sama dengan 0.

Dengan kata lain maka bentuk ini merupakan solusi jika M nya mematuhi persamaan kuadrat tersebut.

Atau dengan kata lain jika M nya adalah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.

Tentu saja kita tahu cara mencari solusi atau akar-akar dari persamaan kuadrat.

Jadi disini kita bisa mencari M plus dan M minus itu adalah min dari coefficient ini.

Atau langsung saja saya tulis jadi berarti adalah 1 min A plus minus akar A minus 1 kuadrat min 4 B dibagi 2.

Bergantung pada apa coefficient A dan B nya kita bisa mencari M plus dan M minus.

Maka solusi umumnya, solusi umum dari persamaan Euler-Cauchy ini ada dua kemungkinan.

Atau secara umum kita bisa menuliskan seperti ini.

Konstanta dikali X pangkat M plus ditambah konstanta lain dikali X pangkat M minus.

Sama seperti pada kasus PDB dengan coefficient konstan maka akar-akar M ini akan bergantung pada diskriminannya.

Kalau diskriminannya lebih besar daripada 0 maka secara umum kita bisa menggunakan solusi ini.

Kalau diskriminannya itu sama dengan 0 dengan kata lain akar-akar kembar.

Jika M plus sama dengan M minus maka hanya ada satu fungsi yang linearly independent.

Fungsi yang lainnya itu dependent terhadap fungsi yang tadi.

Maka kita harus mencari fungsi kedua yang linearly independent sebagai solusi.

Untuk kasus ini kita bisa menggunakan metode reduksi order atau reduction of order.

Yang kita sudah bahas di video sebelumnya.

Dan demikian pula kita juga bisa punya kasus di mana M plus maupun M minusnya ini adalah kompleks.

Jadi secara umum kita punya ketiga kemungkinan tersebut dan solusi umumnya dapat ditulis sebagai fungsi polinom dari X.