Name: Mengulang: Nilai Min/Max & Deret Taylor Fungsi Satu Peubah
Uploaded: 2023-03-22

Prof. Johan Matheus Tuwankotta, S.Si., M.Si.

Video ini membahas konsep nilai maksimum dan minimum dari fungsi satu peubah dengan mengulang pengertian dasar. Untuk mencapai maksimum di suatu titik, nilai fungsi harus lebih kecil daripada nilai maksimum di interval terbuka sekitarnya. Sebaliknya, untuk mencapai minimum, nilai fungsi harus lebih besar daripada nilai minimum di interval terbuka sekitarnya. Penentuan nilai maksimum dan minimum ini penting dalam analisis turunan fungsi. Konsep ini diilustrasikan dengan Urayan Taylor di sekitar titik nol, di mana penurunan fungsi pertama kali dilakukan untuk mencari titik kritis. Syarat utama untuk nilai maksimum adalah turunan kedua fungsi harus sama dengan nol, yang dikenal sebagai titik stasioner.

Sebelum kita membahas apa yang dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 2 peubah

ada baiknya kita mengulang sedikit tentang pengertian dari nilai maksimum dan minimum

Jadi f akan mencapai maksimum di x sama dengan x0

jika terdapat interval buka i yang memuat x0

sehingga fx itu lebih kecil sama dengan fx0.

Jadi fx di setiap x di i fx itu lebih kecil daripada fx0.

Jadi fx0 ini yang paling besar di antara semua x di i ini

dan akan dikatakan mencapai minimum di x sama dengan x0

kalau fx nya lebih besar daripada fx0 untuk setiap x di i.

Nah sebelum kita berbicara lebih jauh tentang ini

kita perlu berdiskusi sebentar tentang mengapa kita membutuhkan interval buka di sini.

Jadi bayangkan sekarang saya punya sumbu koordinat seperti ini

dan 0 tentunya ada di sini nilai f0 itu ada di sini.

Nah teorema ini mengatakan bahwa f akan mencapai maksimum di x sama dengan 0

dalam kasus ini di 0 jika ada interval buka yang memuat i.

Jadi ada interval buka i yang memuat 0 berarti saya punya interval buka.

Nah siapapun nilai x di sini akan selalu lebih kecil dari f0

jadi kalau begitu nilai f nya mungkin seperti ini.

Nah seperti itu jadi selalu berada di bawah ini itu kalau dia maksimum

Sedangkan untuk kasus di mana f0 nya itu minimum justru terbalik

siapapun di sini adalah interval buka siapapun x di sini

nilainya itu selalu lebih besar daripada f0 maka dia adalah nilai minimum di sini.

Nah kenapa kita perlu interval buka kalau kita ganti dengan interval tutup bagaimana?

Kalau kita ganti dengan interval tutup maka mungkin kita punya kasus 0 di sini

nilai f0 nya di sini maka interval tutup i yang memuat x0 itu bisa saja berbentuk seperti ini.

Dan kalau berbentuk seperti ini artinya apa?

Kalau misalkan untuk setiap x di sini nilainya lebih kecil apakah berarti f0 itu maksimum?

Belum tentu sebab kita tidak tahu apa yang terjadi di kiri 0 mungkin saja f nya seperti itu.

Dengan demikian f0 bukan maksimum sebab yang kita harapkan untuk maksimum itu seperti ini.

Jadi interval nya perlu kita yakinkan bahwa dia adalah sebuah interval buka.

Oke sekarang kita akan masuk kepada senjata utama untuk kita memperlihatkan nilai maksimum

atau minimum dari sebuah fungsi yaitu Urayan Taylor dan untuk mudahnya kita pilih Urayan Taylor di sekitar 0.

Kalau bukan di 0 ya gampang tinggal kita geser saja semua analisis ini masih berlaku.

Sebelum kita lanjutkan saya sudah membuat sebuah ilustrasi di sini yaitu apa?

Untuk grafik yang putih ini fx sama dengan x sedangkan yang merah itu adalah gx sama dengan x2.

Yang biru itu adalah hx sama dengan x3 dan yang kuning adalah x alfa untuk alfa yang lebih besar dari 3.

Yang kita lihat di sini bahwa di sekitar 0 nilai fx sama dengan x itu jauh lebih besar daripada x2,

jauh lebih besar dari x3 dan jauh lebih besar dari x alfa dengan alfa yang lebih besar dari 3.

Kalau begitu nilai ini akan jauh lebih kecil daripada ini kalau di sekitar 0.

Nilai ini akan kalah oleh nilai ini, nilai ini akan kalah oleh nilai ini,

nilai ini akan kalah oleh nilai ini, kalah oleh nilai ini, kalah oleh nilai ini dan juga kalah oleh nilai ini.

Jadi kalau saya memperhatikan analisa saya hanya di sekitar titik 0 perhatikan

saya hanya perlu terdapat interval buka di i yang memuat 0 dalam hal ini.

Jadi saya cukup punya sebuah interval meskipun intervalnya sangat kecil enggak masalah

Di sekitar sini nilai dari x bangkat alfa, x bangkat 3, x bangkat 2 semuanya jauh lebih kecil daripada x.

Jadi saya bisa abaikan ini dan kemudian mengganti tanda sama dengan ini dengan tanda hampiran.

Kurang lebih ini seperti ketika kamu melakukan pembagian antara dua buah bilangan

kemudian mendapatkan bilangan desimal sampai pada satu titik tertentu kamu bilang oke saya stop saya buang sisanya yang belakang.

Persis sama seperti ini, seperti saya buang suku-suku yang belakang, suku-suku yang pangkat besar dalam hal ini.

Jadi kurang lebih apa yang kita lakukan di sini adalah melakukan pembulatan.

Nah sekarang kita analisa apa yang terjadi untuk fungsi yang jauh lebih sederhana dari apa yang kita lihat tadi.

Jadi apa yang kita lihat di sini grafiknya seperti ini, ini x sama dengan 0 maka nilai fx itu adalah f0 seperti itu.

Nah suku berikutnya adalah f aksen 0 dan ini jauh lebih besar dari ini.

Jadi apa yang terjadi di sini seakan-akan tidak mempengaruhi apa yang terjadi di sini

atau pengaruhnya sangat kecil terhadap di sini terutama di dekat 0.

Nah kalau f aksen 0 itu positif artinya apa f aksen itu jangan lupa f aksen itu kurang lebih adalah gradien garis singgung kan.

Jadi kalau gradien garis singgungnya itu positif berarti kan garis singgungnya seperti ini, betul nggak?

Nah garis singgungnya seperti ini, ini yang positif nih seperti itu.

Nah namanya gradien garis singgung berarti grafik f nya harus menyinggung ini dong.

Jadi grafiknya kira-kira mungkin seperti ini atau let's say mungkin seperti ini.

Ada banyak lagi kemungkinan yang lainnya tapi kita pilih saja seperti ini, dua yang ini saja.

Perhatikan bahwa di sekitar 0 yang di sebelah kiri dari 0 nilai f x nya lebih kecil daripada f 0.

Dan yang di sebelah kanannya itu lebih besar dari f 0.

Kesimpulan kita yang pertama kalau f aksen 0 positif, 0 tidak mungkin maksimum.

Kalau negatif situasinya mirip hanya terbalik seperti itu.

Berarti nilai f nya akan mungkin grafik f nya mungkin seperti ini.

Jadi di sebelah kirinya nilai f nya akan lebih besar dan di sebelah kanannya akan lebih kecil.

Lagi-lagi kalau f aksen 0 itu lebih kecil 0 maka 0 tidak mungkin maksimum atau minimum.

Kalau f aksen 0 nya positif tidak mungkin maksimum.

Kalau negatif tidak mungkin maksimum atau minimum juga.

Berarti satu-satunya harapan kalau kita mau mengatakan bahwa f 0 ini adalah maksimum

Jadi saya punya syarat yang pertama f aksen 0 harus sama dengan 0.

Betul kan setiap kali kita mencari nilai maksimum atau minimum dari fungsi

yang pertama kali kita lakukan adalah menurunkan terhadap x 1 kali.

Dan kemudian membuatnya sama dengan 0 mencari titik kritisnya.

Jadi ini adalah jadi syarat yang pertama.

Nah kalau syarat yang pertama sudah dipenuhi berarti f aksen 0 nya sama dengan 0 di sana

Nah kalau suku ini hilang f x itu tidak lain adalah f 0 ditambah sesuatu.

Sesuatunya itu kan tergantung dari x kwadrat.

X kwadratnya itu gak pernah negatif x kwadrat itu selalu positif atau 0.