Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 dengan metode Euler-Cauchy non-homogen. Penyelesaiannya melibatkan substitusi x sebagai e pangkat z untuk menyederhanakan persamaan. Dengan mengidentifikasi solusi homogen dan menggunakan metode undetermined coefficient, ditemukan solusi partikularnya adalah z dikali e pangkat 4 z. Solusi umumnya dalam bentuk x adalah x pangkat 4 dikali lon x, menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa dengan efektif.

Mari kita melihat contoh dari suatu PDB Euler-Cauchy yang non-homogen dan kita meninjau bagaimana cara menyelesaikannya.

Sini saya punya persamaan diferensial x kawadrat y double aksen plus x y aksen minus 16 y.

Di ruas kanannya fungsi non-homogen adalah 8 x tangkat 4.

Nah seperti yang kita bahas di pembahasan sebelumnya untuk menyelesaikan ini coba kita substitusi ya.

Dan kalau kita masih ingat di pembahasan sebelumnya kita punya x y aksen dinyatakan dalam z itu adalah dy dz saja.

Dan x kawadrat y double aksen ini adalah dy dz dikurang, sorry d kawadrat y dz kawadrat maksud saya.

Nah ini kita langsung masukkan saja ke dalam bentuk contoh persamaan di atas sehingga kita melihat bahwa suku yang dy dz dari sini

akan meng-cancel suku dy dz dari pertama.

Jadi persamaannya tersederhanakan dalam turunan terhadap z menjadi d kawadrat dz kawadrat minus 16 y.

Nah ruas kanan ketika saya substitusi x menjadi e pangkat z maka ruas kanan menjadi 8 e pangkat 4 z.

Nah ini adalah bentuk PDB order 2 dengan koefisien konstan yang non-homogen.

Kita sudah tahu bagaimana cara mencarinya, kalau kita definisikan operator d ini bisa kita lihat d min 4 d plus 4 y.

Di mana tentunya d adalah operator turunan terhadap z, jadi d di sini adalah d dz.

maka kita bisa langsung mengekstrak informasi solusi homogennya,

solusi homogen dalam fungsi z tentunya adalah suatu konsanta e pangkat 4 z plus konsanta lain e pangkat minus 4 z.

Ini solusi yang homogennya, sekarang kita mencari solusi yang non-homogennya seperti apa.

Ingat kembali metode undetermined coefficient atau koefisien tak tentu,

kita bisa mengekstrak fungsi solusi partikularnya dengan melihat bentuk fungsi yang non-homogen ini seperti apa.

Di sini fungsi non-homogennya adalah fungsi eksponensial, maka kita bisa menebak solusi partikularnya itu juga kurang lebih sama.

Tapi ingat kalau kita perhatikan eksponensialnya si fungsi non-homogen ini kebetulan sama dengan salah satu solusi homogennya.

Jadi di sini ada e pangkat 4 z dan e pangkat 4 z juga merupakan salah satu dari solusi yang homogen.

Jadi kita punya c yang sama dengan a plus.

Pada kasus tersebut maka kita tidak bisa hanya mengambil ansasnya suatu konsanta dikali e pangkat 4 z

karena ini menjadi linearly dependent atau tidak independent terhadap dua solusi homogennya.

Yang ingin kita cari adalah konsanta atau coeffisien yang ingin kita tentukan adalah coeffisien a nya.

Maka di sini kita bisa turunkan e p terhadap z, di sini aksen untuk memudahkan, aksen adalah turunan terhadap z.

A e pangkat 4 z ditambah 4 a z e pangkat 4 z.

Sekali lagi karena kita butuh turunan kedua adalah 4 a e pangkat 4 z ditambah 4 a e pangkat 4 z, jadi di sini 8.

Jadi kalau saya masukkan ini ke situ dan ini ke situ saya punya a, a nya saya keluarkan saja.

Saya berarti di sini ada 16 z plus 8, dikurang 16 dikali z lagi.

Oke ini mengalihkan e pangkat 4 z itu harus sama dengan 8 e pangkat 4 z.

Kita lihat dengan pemilihan ansas tersebut maka suku coeffisien z pangkat 1 tercancel.

Jadi sekarang demikian pula kita bisa mengeliminasi eksponensialnya.

Maka sekarang saya punya 8 a sama dengan 8 atau a nya adalah 1.

Jadi sekarang yp nya ini haruslah z dikali e pangkat 4 z saja.

Karena saya baru menuliskan solusi umumnya dalam bentuk z.

Solusi umum dalam bentuk z adalah solusi yang homogen plus solusi yang partikular.

Kalau saya ingin menyatakan solusi umumnya dalam bentuk x bagaimana problem awal maka saya kembalikan lagi dengan menggunakan substitusi inversenya.

Jadi saya langsung saja tulis disini y sebagai fungsi x, z adalah lon x.

Maka disini saya punya c1 e pangkat 4 z berarti adalah x pangkat 4.

e pangkat minus 4 z itu adalah x pangkat min 4 atau seper x pangkat 4.

Dan terakhir solusi partikularnya z saja itu adalah lon x, e pangkat 4 z adalah x pangkat 4.

Maka saya punya x pangkat 4 dikali lon x.

Inilah solusi umum dari PDB Euler Bernoulli yang non homogen di atas.