Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh soal mengenai sifat komutatif turunan parsial dari vektor. Penjelasan diberikan mengenai cara mencari turunan parsial terhadap x dan y dari suatu vektor yang tergantung pada x, y, dan z. Dilakukan perhitungan turunan parsial order 2 campuran untuk menunjukkan sifat komutatifnya. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa turunan parsial order 2 campuran tersebut bersifat komutatif, meskipun tidak dibuktikan secara matematis. Konsep ini berlaku untuk fungsi yang kontinu setidaknya hingga order 2.

Saya akan menunjukkan contoh bahwa ini berlaku, ya.

Di sini saya tidak memberikan pembuktian formal, ya.

Untuk membuktikan secara formal, maka kita harus menunjukkan bahwa

fungsi A ini, baik itu vektor maupun skalar, dia harus memiliki

Di sini saya akan menunjukkan bagaimana prinsip ini

berlaku pada sembarang fungsi vektor maupun skalar, ya.

Oke, sebagai contoh saya bisa mengambil bentuk sembarang berikut, ya.

Misalnya suatu vektor A itu diberikan oleh 2x kawadrat minus y arah i ditambah

e pangkat xy minus y sin x arah j ditambah x kawadrat cos y arah k.

Nah, ini sembarang vektor yang saya ambil, ya.

Di mana vektor ini bergantung pada x, y, dan z, ya.

A x-nya itu diberikan oleh ekspresi berikut, A y-nya oleh berikut, dan A z-nya oleh berikut.

Nah, mari kita coba cari apa dou A dou x-nya.

Dou A dou x artinya kita turunkan masing-masing komponen skalar ini terhadap x

dengan menganggap y dan z-nya konstan, ya kan.

Kalau ini saya turunkan, maka disini Anda lihat 2x kawadrat diturunkan menjadi 4x

sedangkan y-nya karena dianggap konstan terhadap x, maka turunannya adalah 0.

Lalu, bagian yang komponen A y-nya, turunan terhadap x-nya, Anda lihat disini, e pangkat xy.

Berarti, sesuai dengan kaidahnya, kita menganggap y-nya konstan.

Jadi y adalah konstanta ketika kita turunkan terhadap x, y-nya jadi turun.

Nah, disini y-nya juga konstan, maka tidak diturunkan terhadap x, sin x diturunkan menjadi cos x.

Nah, disini saya punya turunan terhadap x, ini hanyalah 2x, y-nya tidak diturunkan, jadi seperti ini.

Ini doa do x, sekarang saya bisa juga mencari doa do y.

Doa do y berarti ini adalah, sekarang x-nya yang konstan, ya kan.

Jadi saya turunkan terhadap y, jadi ini min 1, min i.

Nah ini, kalau tadi y-nya dianggap konstan, sekarang x-nya yang kita anggap konstan, maka x-nya turun.

Ini diturunkan terhadap y, maka jadi minus sin x saja.

Ketika ini diturunkan terhadap y, minus x kuadrat sin y.

Oke, inilah turunan A terhadap Y, turunan parsial maksud saya.

Nah sekarang mari kita coba cari turunan parsial order 2 campurannya.

Sebenarnya saya bisa mencari untuk yang terhadap Z, tapi disini saya cuma mau menunjukkan bahwa sifat komutatif tadi berlaku.

Sekarang dari hasil pertama, kalau saya cari do kuadrat A, do Y, do X, artinya apa?

Artinya ini saya menurunkan secara parsial terhadap Y, do A, do X.

Do A, do X ini, sekarang kita turunkan hasil ini terhadap Y.

Kita lihat di suku pertama di komponen I tidak ada kebergantungan terhadap Y.

Jadi turunan terhadap Y nya 0, jadi 0i gitu ya.

Disini kita lihat di suku pertama komponen J ada Y dikali e pangkat xy.

Turunan terhadap Y maka X nya dianggap konstan.

Apa ini? Jadi saya bisa punya disini adalah, saya turunkan Y yang di luar dulu, e x pangkat Y ditambah turunan dari e pangkat xy terhadap Y.

Maka saya mengeluarkan X, disini ada Y, e pangkat xy gitu ya.

Suku kedua saya turunkan terhadap Y saja, maka ini hanyalah min cos x.

Yang diturunkan terhadap Y saya punya minus, karena sekarang Y nya masuk di cosinus Y.

Jadi turunan terhadap Y menjadi minus sin Y.

Oke ini adalah hasil do kwadrat A do Y do X.

Sekarang coba kita bandingkan dengan do kwadrat A do X do Y.

Dengan kata lain, kita mengevaluasi turunan parsial terhadap X dari do A do Y.

Kita sudah punya do A do Y sebagai berikut.

Kita lihat komponen I nya ini konstantah, jadi turunan terhadap X nya pasti 0.

Lalu suku komponen J disini, di suku pertama ada X dikali e pangkat xy.

Saya turun terhadap X, saya dapat disini e pangkat xy.

Ditambah X dikali turunan dari e pangkat xy terhadap X.

Dikurang turunan dari sinus X terhadap X adalah cos X arah J.

Dan terakhir turunan dari komponen K terhadap X hanya bekerja pada X kwadrat,

karena disini sin nya adalah sin Y, jadi Y nya dianggap konstan.

Anda bisa lihat dengan mudah bahwa kedua hasil ini adalah sama.

Ini menunjukkan bahwa statement tadi berlaku.

Ingat sekali lagi saya tekankan, saya tidak membuktikan secara matematis bahwa turunan parsial

order 2 campuran itu selalu komutatif, tapi disini saya menunjukkan bahwa sifat ini berlaku

untuk fungsi tersebut atau untuk fungsi yang bisa kita katakan kontinus,

setidaknya atau minimal sampai order 2 nya.